図Ａのように、
点$\mathrm{G}$は△$\mathrm{ABC}$の重心なので、
$\mathrm{AG}:\mathrm{GE}=2:1$ 点$\mathrm{D}$は線分$\mathrm{AG}$の中点なので、
$\mathrm{AD}=\mathrm{DG}$ である。

よって、
$\mathrm{AD}=\mathrm{DG}=\mathrm{GE}$
となるから、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
である。

解答ア：1, イ：2

次の ${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}$ は、三角形のひとつの辺$\mathrm{AB}$について、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}={\displaystyle \frac{\text{一方の頂点から分点}}{\text{他方の頂点から分点}}}$
である。
なので、考えるのはチェバの定理かメネラウスの定理だ。
ここでは、メネラウスの定理を使う。

図Ｂの△$\mathrm{ABE}$（緑の三角形）と直線$\mathrm{PF}$（赤い直線）にメネラウスの定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BF}}}=1$
とかける。

これにアイを代入して、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BF}}}=1$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}=2\times {\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}}$
である。

解答ウ：2, エ：1, オ：3

${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}$についても同様に考える。

図Ｃの△$\mathrm{ACE}$（緑の三角形）と直線$\mathrm{PF}$（赤い直線）にメネラウスの定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CF}}}=1$
とかける。

これにアイを代入して、
${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CF}}}=1$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}=2\times {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}}$式Ａ
である。

解答カ：2, キ：2, ク：3

以上より
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}& =2\times \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}+2\times \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}\\ & =2\times {\displaystyle \frac{\mathrm{BF}+\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}}\mathrm{式}Ｂ\end{array}$$ と表せる。

ここで、点$\mathrm{G}$は△$\mathrm{ABC}$の重心だから、$\mathrm{AE}$は中線である。
つまり、点$\mathrm{E}$は辺$\mathrm{BC}$の中点だ。
よって、
$\mathrm{BE}=\mathrm{CE}$
なので、 $\mathrm{BF}=\mathrm{BE}+\mathrm{EF}$ $$\begin{array}{rl}\mathrm{CF}& =\mathrm{EF}-\mathrm{CE}\\ & =\mathrm{EF}-\mathrm{BE}\end{array}$$ とかける。

これを式Ｂに代入すると、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}& =2\times {\displaystyle \frac{\cancel{\mathrm{BE}}+\mathrm{EF}+\mathrm{EF}-\cancel{\mathrm{BE}}}{\mathrm{EF}}}\\ & =2\times {\displaystyle \frac{2\cancel{\mathrm{EF}}}{\cancel{\mathrm{EF}}}}\\ & =4\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ であることが分かる。

解答ケ：4

アドバイス

上の解説では、点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{C}$の右にとった。
点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{B}$の左にとった場合は次のような図になるけど、解法は全く変わらない。

さらに、図Ｄのような場合を考える。

方べきの定理から
$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AB}$
なので、
$6\mathrm{AQ}=9\mathrm{AP}$
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AQ}& ={\displaystyle \frac{9}{6}}\mathrm{AP}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{AP}\mathrm{式}Ｄ\end{array}$$ となる。

解答コ：3, サ：2

これから$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を求めるんだけど、式Ｄだけじゃ無理。
で、これまでの作業を振り返ってみると、式Ｃの
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}=4$式Ｃ
が使えそうだ。

具体的には、$\mathrm{BP}$，$\mathrm{CQ}$を$\mathrm{AP}$で表して、式Ｃに代入だ。

図Ｄより、
$\mathrm{BP}=9-\mathrm{AP}$ $$\begin{array}{rl}\mathrm{CQ}& =6-\mathrm{AQ}\\ & =6-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{AP}\end{array}$$ この２式と式Ｄを式Ｃに代入すると、
${\displaystyle \frac{9-\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{6-\frac{3}{2}\mathrm{AP}}{\frac{3}{2}\mathrm{AP}}}=4$
という式ができる。

途中式

面倒な式に見えるけど、意外にそうでもなかったりする。

嬉しくないのは、繁分数の部分。
なので、ここから解決する。
繁分数の分母分子に$\frac{2}{3}$をかけて、
${\displaystyle \frac{9-\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\frac{2}{3}(6-\frac{3}{2}\mathrm{AP})}{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\mathrm{AP}}}=4$
${\displaystyle \frac{9-\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{4-\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}}=4$

両辺に$\mathrm{AP}$をかけて、
$9-\mathrm{AP}+4-\mathrm{AP}=4\mathrm{AP}$
より
$6\mathrm{AP}=13$
となる。

よって、
$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{13}{6}}$
である。

解答シ：1, ス：3, セ：6

これを式Ｄに代入して、$\mathrm{AQ}$は、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AQ}& ={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{13}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{13}{4}}\end{array}$$ となる。

解答ソ：1, タ；3, チ：4

次は$\mathrm{CF}$。
今までの作業から$\mathrm{CF}$が含まれている式を探すと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}=2\times {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}}$式Ａ
があった。

ここで、
$\mathrm{CQ}=6-\mathrm{AQ}$ $$\begin{array}{rl}\mathrm{EF}& =\mathrm{CF}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{BC}\\ & =\mathrm{CF}+4\end{array}$$ なので、式Ａは
${\displaystyle \frac{6-\mathrm{AQ}}{\mathrm{AQ}}}=2\times {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+4}}$
と表せる。

これにソタチを代入して、
${\displaystyle \frac{6-\frac{13}{4}}{\frac{13}{4}}}=2\times {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+4}}$
より

途中式

${\displaystyle \frac{\frac{24-13}{\cancel{4}}}{\frac{13}{\cancel{4}}}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+4}}$
${\displaystyle \frac{11}{13}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+4}}$
$13\times 2\mathrm{CF}=11\times (\mathrm{CF}+4)$
$26\mathrm{CF}=11\mathrm{CF}+44$
$15\mathrm{CF}=44$

$\mathrm{CF}={\displaystyle \frac{44}{15}}$
となる。

解答ツ：4, テ：4, ト：1, ナ：5

ここまで、点$\mathrm{D}$は$\mathrm{AG}$の中点であるという条件のもとに解いてきた。
ここからはこの条件をなくして、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}=10$
となる場合を考える。

つまり、(1)のケが$10$になるような
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DG}}}$
の値を求めよ、ということだ。

というわけで、(1)でケを求めた作業を、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
としないで、${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}}$のままでやり直してみる。

(1)では、図Ｂ，図Ｃの緑の三角形と赤い直線にメネラウスの定理を使って、
図Ｂより、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BF}}}=1$式Ｅ 図Ｃより、
${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CF}}}=1$式Ｆ という2つの式をつくった。

これをそれぞれ変形して
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}}$ とし、辺々たすと

途中式

${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}}$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}({\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}})$

${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BF}+\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}}$式Ｇ
と表せる。

ここで、(1)で考えたように
$\{\begin{array}{l}\mathrm{BF}=\mathrm{BE}+\mathrm{EF}\\ \mathrm{CF}=\mathrm{EF}-\mathrm{BE}\end{array}$
なので、式Ｇは
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}& ={\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}\cdot {\displaystyle \frac{\cancel{\mathrm{BE}}+\mathrm{EF}+\mathrm{EF}-\cancel{\mathrm{BE}}}{\mathrm{EF}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}\cdot {\displaystyle \frac{2\cancel{\mathrm{EF}}}{\cancel{\mathrm{EF}}}}\\ & =2\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}\end{array}$$ と変形できる。

なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}=10$
であるためには、
$2\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}}=10$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$式Ｈ
であればよい。

この式Ｈと、点$\mathrm{G}$が△$\mathrm{ABC}$の重心であることによる
$\mathrm{AG}:\mathrm{GE}=2:1$
を使って、問われている
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DG}}}$
を求める。

頭の中だけで考えると混乱するので、分かっていることを図にしよう。

式Ｈより
$\mathrm{AD}:\mathrm{DE}=1:5$
なので、
点$\mathrm{D}$は$\mathrm{AE}$を$6$等分した内分点のうち、点$\mathrm{A}$の隣の点 $$\begin{array}{rl}\mathrm{AG}:\mathrm{GE}& =2:1\\ & =4:2\end{array}$$ なので、
点$\mathrm{G}$は$\mathrm{AE}$を$6$等分した内分点のうち、点$\mathrm{E}$から２つめの点 である。

これを図にすると、図Ｅができる。

図Ｅより、
$\mathrm{AD}:\mathrm{DG}=1:3$
なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DG}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$
となる。

解答ニ：１, ヌ：３