${\log }_{3}9=2$

解答ス：2

は解説の必要はないと思うけど、次のセはちょっと面倒。
こういうときは、対数だと大変なので指数で考えよう。

指数と対数の関係を思い出すと、

復習

$0<a$，$0<b$のとき、
${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$

だった。

復習より、
${\log }_{\frac{1}{4}}\boxed{\text{セ}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
は
${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{-\frac{3}{2}}=\boxed{\text{セ}}$
とかける。

これを計算して、
$$\begin{array}{rl}\boxed{\text{セ}}& ={\left\{{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{-1}\right\}}^{\frac{3}{2}}\\ & =4^{\frac{3}{2}}\\ & =2^3\\ & =8\end{array}$$ である。

解答セ：8

(1)の復習より、問題文中の①式は
$a^t=b$①'
と変形できる。

解答ソ：1

両辺の$t$乗根をとると、①'は
$\sqrt[t]{a^t}=\sqrt[t]{b}$
とかける。

これはさらに
$(a^t{)}^{\frac{1}{t}}=b^{\frac{1}{t}}$
$a=b^{\frac{1}{t}}$①''
と変形できる。

解答タ：1

(1)の復習より、①''は
${\log }_{b}a={\displaystyle \frac{1}{t}}$
とかけるから、問題文中の②式が確かめられる。

④の不等式に(2)の①②式を代入すると
$t>{\displaystyle \frac{1}{t}}$③
となって、③の不等式ができる。
つまり、③と④の不等式は同じ式だ。

問題文から、③の不等式の解は
$-1<t<0$，$1<t$式Ａ
であることが分かっている。
なので、これがチツの答えなんだけど、選択肢は$a$と$b$の式だ。
なので、式Ａを$a$，$b$の式に変えよう。

式Ａに①式を代入して、
$-1<{\log }_{a}b<0$，$1<{\log }_{a}b$式Ａ'
とする。

$\log$と$\log$じゃない辺が入り交じった式ができた。
このままじゃどうにもならないので、全部の辺を対数にしよう。
具体的には、
${\log }_{a}a$をかける。 ${\log }_{a}a=1$なので、かけても辺の値は変わらない。

式Ａ'の対数以外の辺に${\log }_{a}a$をかけると
$$\begin{array}{rl}& -1\times {\log }_{a}a<{\log }_{a}b<0\times {\log }_{a}a,\\ & 1\times {\log }_{a}a<{\log }_{a}b\\ & {\log }_a{a}^{-1}<{\log }_{a}b<{\log }_a{a}^0,{\log }_{a}a<{\log }_{a}b\\ & {\log }_a{\displaystyle \frac{1}{a}}<{\log }_{a}b<{\log }_{a}1,{\log }_{a}a<{\log }_{a}b\end{array}$$ 式Ａ''
と表せる。

$a>1$のとき、式Ａ''より
${\displaystyle \frac{1}{a}}<b<1$，$a<b$
である。

解答チ：3

また、$0<a<1$のとき、式Ａ''より
${\displaystyle \frac{1}{a}}>b>1$，$a>b$
とかける。

これに、$b$の定義域の$b>0$とあわせて
$0<b<a$，$1<b<{\displaystyle \frac{1}{a}}$
である。

解答ツ：0

以上を数直線に描くと、図Ａができる。

$a$は定数扱いだ。

チツより、図Ａ中の
緑の実線の範囲に$b$があるとき、
${\log }_{a}b>{\log }_{b}a$ 緑の点線の範囲に$b$があるとき、
${\log }_{a}b<{\log }_{b}a$ である。

ただし、$b>0$ かつ $b\ne 0$ である。
また、$b=a$や$b={\displaystyle \frac{1}{a}}$の場合は考えないことにする。

今度は、
${\log }_{p}q$ と ${\log }_{q}p$ ${\log }_{p}r$ と ${\log }_{r}p$ の大小を比べる。
使うのは、(3)でつくった図Ａだ。

まず、${\log }_{p}q$ と ${\log }_{q}p$から。

${\log }_{p}q$と${\log }_{q}p$に合うように
$a$ を $p={\displaystyle \frac{12}{13}}$に $b$ を $q$に 変えて、図Ａを描きなおして図Ｂをつくる。

いま、$a$にあたる$p$は
$0<p<1$
なので、図Ａの下側の数直線を使う。

図Ｂに$q$を書き込むと、$q={\displaystyle \frac{12}{11}}$なので●の位置だ。

詳しく

${\displaystyle \frac{13}{12}}=1+{\displaystyle \frac{1}{12}}$
${\displaystyle \frac{12}{11}}=1+{\displaystyle \frac{1}{11}}$
で、
${\displaystyle \frac{1}{12}}<{\displaystyle \frac{1}{11}}$
なので、
${\displaystyle \frac{13}{12}}<{\displaystyle \frac{12}{11}}$
となるから、
${\displaystyle \frac{12}{11}}$は数直線上で${\displaystyle \frac{13}{12}}$よりも右にある。

緑の点線の範囲に$q$があるので、
${\log }_{p}q<{\log }_{q}p$ である。

それから、${\log }_{p}r$ と ${\log }_{r}p$。

さっきと同じように、${\log }_{p}r$ と ${\log }_{r}p$に合うように
$a$ を $p={\displaystyle \frac{12}{13}}$に $b$ を $r$に 変えて、図Ａを描きなおして図Ｃをつくる。

今度も、$a$にあたる$p$は
$0<p<1$
なので、図Ａの下側の数直線を使う。

図Ｃに$r$を書き込むと、$r={\displaystyle \frac{14}{13}}$なので●の位置だ。

詳しく

${\displaystyle \frac{14}{13}}=1+{\displaystyle \frac{1}{13}}$
${\displaystyle \frac{13}{12}}=1+{\displaystyle \frac{1}{12}}$
で、
$0<{\displaystyle \frac{1}{13}}<{\displaystyle \frac{1}{12}}$
なので、
$1<{\displaystyle \frac{14}{13}}<{\displaystyle \frac{13}{12}}$
となるから、
${\displaystyle \frac{14}{13}}$は数直線上で$1$と${\displaystyle \frac{13}{12}}$の間にある。

緑の実線の範囲に$r$があるので、
${\log }_{p}r>{\log }_{r}p$ である。