①の両辺を２乗して、
$(a+b+c{)}^2=1^2$
より
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1$
とかける。

この式の赤い部分に②を代入すると、
$13+2ab+2bc+2ca=1$
となる。

これを変形して、
$2ab+2bc+2ca=-12$
$ab+bc+ca=-6$式Ａ
である。

解答ア：－, イ：６

また、問題文中のウエの式を展開すると、
$$\begin{array}{rl}\boxed{\text{ウエ}}& =a^2-2ab+b^2\\ & +b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\boxed{\text{ウエ}}}& =2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\\ & =2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\end{array}$$

$\phantom{\boxed{\text{ウエ}}}=2\{(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\}$
と変形できる。

これに②と式Ａを代入して、
$$\begin{array}{rl}\boxed{\text{ウエ}}& =2\{13-(-6)\}\\ & =2\cdot 19\\ & =38\end{array}$$ となる。

解答ウ：３, エ：８

問題文より
$a-b=2\sqrt{5}$式Ｅ
なので、式Ｄは
$$\begin{array}{rl}x+y& =-(2\sqrt{5})\\ & =-2\sqrt{5}\mathrm{式}Ｆ\end{array}$$ となる。

解答オ：－, カ：２

また、(1)のウエの式に 式Ｂ，式Ｃ，式Ｅを代入すると
$(2\sqrt{5}{)}^2+x^2+y^2=38$
となるから、
$20+x^2+y^2=38$
$x^2+y^2=18$
である。

解答キ：１, ク：８

同様に、ケの式に 式Ｂ，式Ｃ，式Ｅを代入すると
$2\sqrt{5}xy=$ケ$\sqrt{5}$
とかける。

これを変形すると
ケ$=2xy$式Ｇ
となるから、$xy$の値が分かれば、答えが分かる。
ということで、$xy$を求める。

式Ｆの両辺を２乗して、
$(x+y{)}^2=(-2\sqrt{5}{)}^2$
より
$x^2+2xy+y^2=20$
とすると、キクより、この式の赤い部分は$18$なので、
$2xy+18=20$
と表せる。

これを変形して、
$2xy=2$

これを式Ｇに代入すると、求めるケは
ケ$=2$
となる。

解答ケ：２