$f(x)$は三次関数で、$x^3$の項の係数は正。
なので、全体としては右上がりのグラフになるから、選択肢の
③④⑤
は不適。
正解は、⓪①②のどれかだ。

さらに、$f(x)$を微分すると
$f^{\prime }(x)=3x^2-6a$
となる。

なので、$f^{\prime }(x)=0$となる$x$は
$3x^2-6a=0$
より
$x^2=2a$
$x=\pm \sqrt{2a}$式Ａ
である。

式Ａより、$f^{\prime }(x)=0$となる点、つまり、グラフの傾きが$0$である点は、 $a<0$のとき、存在しない $a=0$のとき、$x=0$の１か所 $0<a$のとき、$x=\pm \sqrt{2a}$の２か所 であることが分かる。

以上より、

(1)で考えたように、$0<a$のとき、$y=f(x)$のグラフは
全体として右上がり 傾きが$0$の点が２か所あり、その$x$座標は
$x=\pm \sqrt{2a}$ なので、図Ａのような形になる。

$y=f(x)$と$y=p$が３個の共有点をもつのは、
$y=p$が図Ａの青い範囲にある 場合。
ただし、オレンジの線と緑の線は含まない。

よって、
ウは極小値（緑の点の$y$座標）
エは極大値（オレンジの点の$y$座標）
である。

図Ａより、

である。

次に、$p=$ウのときの$y=p$、つまり 図Ａの緑の直線
$y=-4\sqrt{2}{a}^{\frac{3}{2}}+16$式Ｂ
と、$y=f(x)$との共有点（図Ａの赤い点と緑の点）の$x$座標$q$，$r$を求める。

$q<r$
なので、
赤い点の$x$座標が$q$ 緑の点の$x$座標が$r$ だ。

このうち、緑の点の$x$座標はすでに
$\sqrt{2a}$
だと分かっている。
これを問題文のマスに合う形に変形すると、
$r=\sqrt{2}{a}^{\frac{1}{2}}$
となる。

解答ク：２

$q$についてはちょっと計算しないといけない。

$y=f(x)$と式Ｂの連立方程式
$\{\begin{array}{l}y=x^3-6ax+16\\ y=-4\sqrt{2}{a}^{\frac{3}{2}}+16\end{array}$
から
$x^3-6ax+16=-4\sqrt{2}{a}^{\frac{3}{2}}+16$
より
$x^3-6ax+4\sqrt{2}{a}^{\frac{3}{2}}=0$式Ｃ
という方程式ができる。

この方程式の解が$q$と$r$なんだけど、$r=\sqrt{2a}$が分かっていて、しかも図Ａの緑の点は接点なので、重解だ。
よって、式Ｃは
$(x-q)(x-\sqrt{2a}{)}^2=0$式Ｄ
と因数分解できるはず。

この式Ｄを展開すると、式Ｃになるはず。
全部展開するのは面倒なので、定数項だけ計算しよう。

式Ｄの定数項を展開すると、
$-q\times (-\sqrt{2a}{)}^2$
これが式Ｃの定数項と等しいので、
$-q\times (-\sqrt{2a}{)}^2=4\sqrt{2}{a}^{\frac{3}{2}}$
これを計算して、
$-q={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}{a}^{\frac{3}{2}}}{(-\sqrt{2a}{)}^2}}$
$$\begin{array}{rl}q& =-\frac{{\cancel{4}}^2\sqrt{2}\cancel{a}\cdot a^{\frac{1}{2}}}{\cancel{2}\cancel{a}}\\ & =-2\sqrt{2}{a}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$ である。

解答オ：－, カ：２, キ：２

ここで、$y=f(x)$のグラフについて、ちょっとまとめておこう。

$f(0)=16$
なので、グラフは$y$軸と
$(0,16)$
で交わる。

これに、(1)(2)で考えたグラフの概形を合わせると、図Ｃのようになる。

$y=f(x)$のグラフは、図中 $a<0$のとき、オレンジの曲線 $a=0$のとき、茶色の曲線 $a>0$のとき、赤い曲線 である。

また、$x$軸は黒い点（$y$座標が$16$）よりも下にあるけど、どのくらい下かは$a$の値によって変わる。
なので、$x$軸は緑の線の位置だったり、青だったり、紫だったりする。

アドバイス

本当は$x$軸が決まっていてグラフの形が変わるんだけど、グラフの形が決まっていて$x$軸が動くと考えた方がイメージしやすいので、ここでは$x$軸を動かした。

図Ｃから、$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の数は、
$a<0$のとき、必ず$1$個 $a=0$のとき、必ず$1$個 $a>0$のとき、$1$個だったり$2$個だったり
$3$個だったりする ことが分かる。

方程式$f(x)=0$の実数解は、$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標と等しい。

なので、異なる実数解の個数$n$は、 $a<0$のとき、$n=1$ $a=0$のとき、$n=1$ $a>0$のとき、$n=1$にも$2$にも$3$にもなる といえる。