${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}+{\cos }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=1$
なので、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)}^2=1$
とかける。

これを解いて、
$$\begin{array}{rl}{\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}& =1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{3^2}{3^2}}-{\displaystyle \frac{3}{3^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{6}{3^2}}\end{array}$$

$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$ なので、
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$
である。

解答カ：６, キ：３

次は、$\mathrm{AB}$だ。

△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使って
${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}}=2R$

これにカキと$R=3$を代入すると
${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}}=2\cdot 3$
より
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AB}& =2\cdot 3\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\\ & =2\sqrt{6}\end{array}$$ となる。

解答ク：２, ケ：６

さらに、$\mathrm{AC}$。

$\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=\sqrt{3}:2$
なので、
$\mathrm{AC}=\sqrt{3}x$式Ａ
とすると
$\mathrm{BC}=2x$式Ｂ
とかける。

△$\mathrm{ABC}$に余弦定理を使って
$\begin{array}{rl}{\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AC}}^2+& {\mathrm{BC}}^2\\ & -2\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{BC}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}\end{array}$

これに それぞれの値と 式Ａ，式Ｂを代入して
$\begin{array}{rl}(2\sqrt{6}{)}^2=& (\sqrt{3}x{)}^2+(2x{)}^2\\ & -2\cdot \sqrt{3}x\cdot 2x\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}$

これを解いて、
$2^2\cdot 6=3x^2+4x^2-4x^2$
$x^2=2^2\cdot 2$
より
$x=2\sqrt{2}$
となる。

これを式Ａに代入すると、$\mathrm{AC}$は
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AC}& =\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}\\ & =2\sqrt{6}\end{array}$$ である。

解答コ：２, サ：６

△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使うと
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}=2R$式Ｃ
とかける。

これに$\mathrm{AC}$，$R$の値を代入して、
${\displaystyle \frac{4}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=4$
$$\begin{array}{rl}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}& ={\displaystyle \frac{4}{2\cdot 3}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$ である。

解答シ：2, ス：3

さらに、△$\mathrm{ABD}$は直角三角形なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$式Ｄ
である。

これに$\mathrm{AB}$，$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$の値を代入すると、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{5}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
両辺を$5$倍して、
$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{10}{3}}$
となる。

解答セ：1, ソ：０, タ：３

アドバイス

図Ｂには、△$\mathrm{ABC}$が鋭角三角形になる場合を載せておいた。
問題の条件からは、図Ｃのような鈍角三角形も考えられる。
どちらの三角形を使っても、解き方は変わらない。

図の固定

三角形の辺は、外接円の直径より長くなることはない。
なので、

	$\mathrm{AB}\leqq 6$式Ｅ
	$\mathrm{BC}\leqq 6$
	$\mathrm{AC}\leqq 6$式Ｆ

である。

問題文中の
$2\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=14$
を
$\mathrm{AC}=14-2\mathrm{AB}$式Ｇ
と変形して 式Ｆに代入すると、
$14-2\mathrm{AB}\leqq 6$
より
$8\leqq 2\mathrm{AB}$
$4\leqq \mathrm{AB}$
であることが分かる。

これと式Ｅをあわせて、$\mathrm{AB}$の範囲は
$4\leqq \mathrm{AB}\leqq 6$
となる。

解答チ：４, ツ：６

アドバイス

次の問いの$\mathrm{AD}$の式をどうやってつくるか、迷う人は多いんじゃないだろうか。
こういうとき、共通テストやセンター試験では、前の問題がヒントになっていることも多い。

(i)では、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の値が分かっていて、$\mathrm{AD}$を求めた。
今度は$\mathrm{AD}$の式をつくるんだけど、$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の値は分からないし、求めようもない。
ならば、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$を文字のままにして、(i)と同じことをやってみよう。

(i)の式Ｃに$R=3$を代入すると
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\mathrm{AC}$
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{6}}$
と表せる。

これを(i)の式Ｄに代入して
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{6}}$
より、$\mathrm{AD}$の式
$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}{6}}$式Ｈ
ができる。

$\mathrm{AD}$の式はできたけど、テトナニヌの式とはかなり違う。
とりあえず、テトナニヌの式にない$\mathrm{AC}$を代入して消そう。

式Ｈに式Ｇを代入すると
$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}(14-2\mathrm{AB})}{6}}$
とかける。

これを整理して、$\mathrm{AD}$の式は
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AD}& ={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}(7-\mathrm{AB})}{3}}\mathrm{式}Ｉ\\ & ={\displaystyle \frac{-{\mathrm{AB}}^2+7\mathrm{AB}}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{-1}{3}}{\mathrm{AB}}^2+{\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{AB}\end{array}$$ である。

解答テ：－, ト：1, ナ：3, ニ：7, ヌ：3

最後は$\mathrm{AD}$の最大値だ。
二次式で表された値の最大値なので、2次関数の最大の問題だ。

式Ｉより、$\mathrm{AD}$は
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AD}& =-{\displaystyle \frac{\mathrm{AB}(\mathrm{AB}-7)}{3}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{AB}(\mathrm{AB}-7)\mathrm{式}Ｊ\end{array}$$ とかける。

式Ｊがわかりにくい人は、
$\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=x\\ \mathrm{AD}=y\end{array}$
とおいて、
$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x(x-7)$式Ｊ'
とした方がイメージしやすいかも。

式Ｊ'の2次関数のグラフは
上に凸で $x=0$，$7$で$x$軸と交わる から、図Ｄのようなグラフだ。

放物線の軸は、$x$軸との2つの交点のちょうど真ん中、
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{0+7}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$ である。

また、$x$，つまり$\mathrm{AB}$の定義域は、チツで求めた
$4\leqq x\leqq 6$
で、図Ｄ中の緑の部分。
よって、$y$，つまり$\mathrm{AD}$の最大値は、図Ｄ中の赤い点の$y$座標だ。

以上より、$\mathrm{AD}$の最大値は、式Ｊに
$\mathrm{AB}=4$
を代入して、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AD}& =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 4(4-7)\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 4(-3)\\ & =4\end{array}$$ である。

解答ネ：4

このとき、
$\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=4\\ \mathrm{AD}=4\end{array}$
より $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$なので、点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$は一致する。

したがって、
$\mathrm{AB}\perp \mathrm{BC}$
つまり
$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={90}^{\circ }$
となるから、$\mathrm{AC}$は△$\mathrm{ABC}$の外接円の直径にあたる。

以上より、$\mathrm{AD}=4$のときの図を描くと、図Ｃのようになる。

図Ｃの△$\mathrm{ABC}$に三平方の定理を使うと
$4^2+{\mathrm{BC}}^2=6^2$
より
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{BC}}^2& =2^2(3^2-2^2)\\ & =2^2\cdot 5\end{array}$$ $\mathrm{BC}=2\sqrt{5}$
であることが分かる。

よって、△$\mathrm{ABC}$の面積は、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \text{底辺}\times \text{高さ}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 4\\ & =4\sqrt{5}\end{array}$$ である。

解答ノ：４, ハ：５