$\cos$の２倍角の公式を思い出すと

公式

$$\begin{array}{rl}\cos 2\theta & ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \\ & =1-2{\sin }^2\theta \\ & =2{\cos }^2\theta -1\mathrm{式}Ａ\end{array}$$

の３つあったけど、今回は$\cos 2\theta$を$t$、つまり$\cos \theta$で表すので、使うのは式Ａだ。

式Ａに
$t=\cos \theta$式Ｂ
を代入すると
$\cos 2\theta =2t^2-1$式Ｃ
となる。

解答ア：２, イ：１

図Ａより
$\alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$
であることが分かる。

解答ク：２, ケ：３

また、
$\{\begin{array}{l}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$
だ。

解答コ：３, サ：５, シ：７

これを図Ａに書き込むと、図Ｂができる。

図Ｂより、$\beta$は
${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$式Ｄ
であることが分かる。

解答ス：３

アドバイス

ここでは誤解のないように図で説明した。
一方で、共通テストは時間との戦いでもあるから 手間のかかる図は描きたくない。

$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲では
$\cos {\theta }_1>\cos {\theta }_2\iff {\theta }_1<{\theta }_2$
である。
これがちゃんと理解できていれば、図Ｂを考える必要はなくて
${\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}>0$
なので
${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$式Ｄ
である
と考えてＯＫだ。

いま、
$\cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$
だけど、これを２倍角の公式（式Ａ）に代入すると、
$\cos 2\beta =2{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-1$
より
$\cos 2\beta =-{\displaystyle \frac{7}{8}}$
となる。

解答セ：－, ソ：７, タ：８

これをもう一度２倍角の公式（式Ａ）に代入すると
$\cos 2(2\beta )=2{(-{\displaystyle \frac{7}{8}})}^2-1$
とかける。

これを計算して、
$$\begin{array}{rl}\cos 4\beta & ={\displaystyle \frac{49}{32}}-1\\ & ={\displaystyle \frac{17}{32}}\end{array}$$ である。

解答チ：１, ツ：７, テ：３, ト：２

ここで、式Ｄの３辺を$4$倍すると
${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi <4\beta <2\pi$式Ｄ'
となるけど、これを図で表すと図Ｃの緑の範囲だ。

また、チツテトより$\cos 4\beta$は正の値であることが分かっている。
$\cos$が正なのは図Ｃのオレンジの範囲。

よって、$4\beta$は緑とオレンジの重なる部分に存在するので、第４象限の角だ。

解答ナ：４

この$4\beta$についてスを求めたときと同様に考える。

$\cos 4\beta ={\displaystyle \frac{17}{32}}$
で
${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{17}{32}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$
なので、$4\beta$は図Ｄのような角であることが分かる。

図Ｄの緑の範囲は、ナで求めた$4\beta$の存在範囲だ。
なので、$4\beta$はこの範囲にあるものとして考える。

図Ｄのように、第４象限にあって
$\cos$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$の角を$\mathrm{A}$ $\cos$が${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$の角を$\mathrm{B}$ とすると、$4\beta$は
$\mathrm{A}<4\beta <\mathrm{B}$式Ｅ
であることが分かる。

ここで、
$\mathrm{A}=2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
なので、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{A}& ={\displaystyle \frac{6-1}{3}}\pi \\ & ={\displaystyle \frac{5}{3}}\pi \end{array}$$ $\mathrm{B}=2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
なので、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{B}& ={\displaystyle \frac{8-1}{4}}\pi \\ & ={\displaystyle \frac{7}{4}}\pi \end{array}$$ である。

よって、式Ｅは
${\displaystyle \frac{5}{3}}\pi <4\beta <{\displaystyle \frac{7}{4}}\pi$
とかける。

この式の３辺を$4$で割って、$\beta$の存在範囲は
${\displaystyle \frac{5}{12}}\pi <\beta <{\displaystyle \frac{7}{16}}\pi$式Ｆ
である。

解答ニ：８

アドバイス

上の解を見て、「あれ？式Ｄは？」って思う人がいるかも知れない。
確かに$\beta$の存在範囲は式Ｄと式Ｆの共通部分だ。

式Ｆを求めた作業を振り返ってみる。
式Ｄを式Ｄ'に変形して、図Ｃの緑の範囲をつくった。
これとオレンジの範囲の重なる部分を求めて、図Ｄの緑の範囲とした。
この緑の範囲の中で、式Ｆをつくった。
つまり、式Ｆは式Ｄの範囲に含まれる。

なので、式Ｆを求めた後に もう一度 式Ｄとの共通部分を考える必要はない。