この解説では、参加者を
Ａ，Ｂ，$\cdots$
とし、参加者が持参したプレゼントを同じアルファベットの小文字で表すことにする。

例えば、
Ａが持ってきたプレゼントをａ
Ｂが持ってきたプレゼントをｂ
と表す。

また、
「自分が持参したプレゼントを受け取る」
は長いので、
「自分のをもらう」
と書くことにする。

次は、交換会の参加者が4人の場合だ。

４個のプレゼントを４人に配る場合の数は、
$4!=24$
通りある。

全部書き出せないほど多くはないけれど、問題文中の「構想」通りに解いてみよう。

以上より、少なくとも１人が自分のをもらう場合の数、つまり １回で交換会が終了しない場合の数は
$$\begin{array}{rl}\boxed{\text{サ}}+\boxed{\text{シ}}+\text{式Ｅ}& =8+6+1\\ & =15\end{array}$$ 通りある。

解答ス：１, セ：５

最初に考えたように、４個のプレゼントを４人に配る場合の数は
$4!=24$
通り。

なので、４人全員が自分のをもらわない場合の数、つまり １回で交換会が終了する場合の数は
$24-15=9$式Ｆ
通り。

その確率は、式Ｆを$4!$で割って、
${\displaystyle \frac{9}{24}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$
である。

解答ソ：３, タ：８

今度は５人だ。
４人のときと同様に考えてみる。
つまり、自分のをもらう人数によって場合分けだ。

以上より、少なくとも１人が自分のをもらう場合の数は
式Ｇ$+$式Ｈ$+$式Ｉ$+$式Ｊ$=45+20+10+1$
$=76$
通りある。

また、５個のプレゼントを５人に配る場合の数は
$5!$
通り。

よって、５人全員が自分のをもらわない場合の数、つまり １回で交換会が終了する場合の数は
$5!-76=44$式Ｋ
通り。

その確率は、式Ｋを$5!$で割って、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{44}{5!}}& ={\displaystyle \frac{{\cancel{44}}^{11}}{5\cdot \cancel{4}\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\ & ={\displaystyle \frac{11}{30}}\end{array}$$ である。

解答チ：１, ツ：１, テ：３, ト：０

ここで、条件付き確率の復習をしておこう。
多くの参考書には

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$、事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率$P(A\cap B)$をとするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_A(B)$は、
$P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}$式Ｌ

と書いてあると思う。

式Ｌを公式だと思って機械的に当てはめてもいいんだけど、せっかくだからちょっと違った解き方をしよう。

条件付き確率の意味は、

復習

事象$A$が起こったときに事象$B$が起こる条件付き確率$P_A(B)$とは、$A$が起こった場合を全事象と考えたときに $B$が起こる確率のことである。

なので、$P_A(B)$は
$P_A(B)={\displaystyle \frac{A\text{と}B\text{の両方が起こる場合の数}}{A\text{が起こる場合の数}}}$
式Ｍ
とかける。

式Ｌと式Ｍは同じ式なんだけど、その辺の説明はここでは省略する。

この問題では、
復習の事象$A$は、
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが自分のをもらわない場合 復習の事象$B$は、
その回で交換会が終わる場合、
つまり５人全員が自分のをもらわない場合 にあたる。

なので、求める条件付き確率を$P$とすると、式Ｍより $P={\displaystyle \frac{\text{５人全員が自分のをもらわない場合の数}}{\text{Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄが自分のをもらわない場合の数}}}$ 式Ｎ
と表せる。

というわけで、式Ｎを使って解いてみよう。

式Ｎの分子は、(3)の式Ｋで求めた
$44$式Ｋ
通り。

式Ｎの分母の
「Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが自分のをもらわない場合」
には、
Ｅも自分のをもらわないパターンＡ Ｅは自分のをもらうパターンＢ の２つのパターンが存在する。

パターンＡは、全員が自分のをもらわない場合の数なので、さっきの式Ｋの
$44$式Ｋ
通り。

パターンＢは、４人が自分のをもらわない場合の数なので、(2)の式Ｆの
$9$式Ｆ
通り。

よって、式Ｎの分母は、式Ｋと式Ｆをたした
$44+9=53$
通りとなる。

以上を式Ｎに代入して、$P$、つまり 求める条件付き確率は
$P={\displaystyle \frac{44}{53}}$
である。

解答ナ：４, ニ：４, ヌ：５, ネ：３