$p=4$，$q=-4$のとき、方程式は
$x^2+4x-4=0$式Ａ
$x^2-4x+4=0$式Ｂ
となる。

まず、簡単な式Ｂから。

式Ｂは公式通りの形で
$(x-2{)}^2=0$
と因数分解できる。

なので、式Ｂの解は
$x=2$ の重解だ。

次に、式Ａ。

式Ａを見ると、$x^2$の係数と定数項が異符号。
なので、判別式は正だ。

詳しく

二次式
$a{x}^2+bx+c$
の判別式は
$b^2-4ac$
だけど、この式の緑の部分は必ず$0$以上である。
なので、赤い部分が正のときは、判別式は必ず正になる。
よって、$a$と$c$が異符号のとき、計算しなくても判別式は正であることが分かる。

さらに、式Ｂの解の
$x=2$
は、式Ａの解じゃない。

よって、式Ａの解は
$x=2$以外の異なる２つの実数解 である。

以上より、この場合の$n$は
$x=2$と、式Ａの解の２個 の、合計$3$である。

解答ア：３

アドバイス

解の個数が分かればいいので、式Ａの解を求める必要はない。

$p=1$，$q=-2$のとき、方程式は
$x^2+x-2=0$式Ｃ
$x^2-2x+1=0$式Ｄ
となる。

式Ｃは
$(x+2)(x-1)=0$
と因数分解できるので、解は
$x=-2$，$1$ の２つ。

式Ｄは
$(x-1{)}^2=0$
と因数分解できるので、解は
$x=1$ の重解だけど、これは式Ｃの解と共通。

以上より、この場合の$n$は
$x=-2$，$1$ で、$n=2$だ。

解答イ：２

アドバイス

今回も方程式の解自体は必要ない。けれど、どちらの方程式も簡単に因数分解できるので、解を求めて解いた方が早い。

$p=-6$のとき、方程式は
$x^2-6x+q=0$①'
$x^2+qx-6=0$②'
となる。

花子さんと太郎さんの会話通り ①'と②'の共通解を$\alpha$とおいて
${\alpha }^2-6\alpha +q=0$①''
${\alpha }^2+q\alpha -6=0$
とし、ふたつの式を辺々引くと

	${\alpha }^2$	$-6\alpha$	$+q$	$=$	$0$
$-)$	${\alpha }^2$	$+q\alpha$	$-6$	$=$	$0$
		$(-6-q)\alpha$	$+q+6$	$=$	$0$

より
$-(q+6)\alpha +(q+6)=0$式Ｅ
とかける。

これを因数分解すると
$(q+6)(-\alpha +1)=0$
となる。

この式が成り立つのは
$q+6=0$ または $-\alpha +1=0$
のときなので、
$q=-6$，$\alpha =1$
のときだ。

以上、花子さんと太郎さんの会話に従って 両方の方程式がそれぞれ異なる2つの実数解をもち、 共通の解が1つある 場合を考えた。

けれど、$n=3$となるパターンは他にもあって、前の問題がヒントになっている。
(1)の$p=4$，$q=-4$のような場合だ。

つまり、
①'，②'の一方が重解，もう一方が異なる2つの実数解をもち、 共通の解がない ようなパターンである。

これを考えてみよう。

グラフの平行移動の復習から。

復習が終わったところで、まず③のグラフだ。

③は
$y-q=x^2-6x$
と変形できる。

復習より、これは
$y=x^2-6x$
のグラフを、
$y$軸方向に$q$平行移動したもの。

なので、$q$の値が大きくなるにつれて、グラフは$y$軸の正の方向（真上）に移動してゆく。
よって、$q$が$1$より大きいときのグラフは、$q=1$のときのグラフから見て $y$軸の正の方向（真上）にある。

以上より、正しいグラフは、選択肢の
⑥
である。

解答オ：6

次は、④のグラフ。

③と同じように解いてもいいんだけど、せっかくだから違う方法をやってみよう。

復習

2次関数
$y=a{x}^2+bx+c$
の放物線の軸（頂点の$x$座標）は
$x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$
とかける。

復習より、④の放物線の軸は
$x={\displaystyle \frac{-q}{2}}$式Ｈ
とかける。

$q$が大きくなるほど、${\displaystyle \frac{-q}{2}}$は小さくなる。
なので、$q$を増加させると ④の放物線の軸は$x$軸の負の方向（左方向）に移動するから、グラフ全体も左に移動する。
よって、
選択肢のうちの
①③⑤
のどれかが正解 であることが分かる。

さらに、式Ｈを見ると $q=1$のとき 放物線の軸の$x$座標は負。
なので、
$y$軸は点線の放物線の軸より右 に存在する。

また、④の定数項は
$-6$
なので、$q$の値を変化させても、グラフと$y$軸との交点は
$(0,-6)$
で不変である。

よって、点線と実線のふたつのグラフは必ず
$(0,-6)$
で交わる。
これは$y$軸上の点だ。
つまり、
$y$軸はふたつのグラフの交点を通る ことになる。

以上より、選択肢の①③⑤のうち
点線と実線のふたつのグラフの交点が、点線の放物線の軸よりも右 にあるグラフが正解だ。

よって、正しいグラフは
①
である。

解答カ：1

アドバイス

④については、この方法だと ほとんど計算しなくても答えが分かるし、何よりも早い。
省略せずに説明したので、解説は長かったけど。
でも、なかなか思いつかないかも。
これを ③と同じように解くと 次の別解のようになる。

必要条件と十分条件の問題なので、集合$A$，集合$B$を図で表そう。
今回は$x$の範囲なので、数直線を使う。

集合$A$

(2)で解いたように、
$x^2-6x+q=0$①'
の解は、
$q=5$のとき
$x=1$，$5$ $q=9$のとき
$x=3$の重解 だった。

なので、
$y=x^2-6x+q$③
のグラフは、
$q=5$のとき
図Ａのオレンジの放物線 $q=9$のとき
図Ａの青い放物線 になる。

よって、
$5<q<9$
のとき、③のグラフは図Ａの緑の範囲にある。
ただし、オレンジの線と青い線は含まない。
例えば、図中の黒い放物線のようなグラフになる。

以上より、このときの集合
$A=\{x|x^2-6x+q<0\}$
を数直線で表すと図Ｂができる。

集合$B$

(2)で求めたように、
$x^2+qx-6=0$②'
の解は、
$q=5$のとき
$x=1$，$-6$ だった。

なので、このとき、
$y=x^2+qx-6$④
のグラフは図Ｃのオレンジの放物線になる。

また、(3)で考えたように、④のグラフは $q$が大きくなるにつれて 左下に移動し、 $y$軸と 必ず$(0,-6)$で交わる ので、$q=9$のとき、④のグラフは おおよそ 図Ｃの青い放物線のような感じだ。

よって、
$5<q<9$
のとき、④のグラフは図Ｃの緑の範囲にある。
ただし、オレンジの線と青い線は含まない。
例えば、図中の黒い放物線のようなグラフになる。

以上より、このときの集合
$B=\{x|x^2+qx-6<0\}$
を数直線で表すと図Ｄができる。

図Ｂと図Ｄができたら勝ったも同然。
でも、先に進む前に、必要条件・十分条件と集合の復習をしておこう。

復習の考え方で解く。
図Ｂと図Ｄをひとつの数直線にして、集合$\bar{A}$を描きたして 図Ｈをつくった。

図Ｈを見ると、集合$A$と集合$B$は、復習の図Ｇの右図のような関係だ。
なので、
$x\in A$は、$x\in B$であるための 必要条件でも十分条件でもない。

解答キ：3

また、集合$B$は集合$\bar{A}$に含まれている。復習の図Ｅのような関係だ。
なので、
$x\in B$は、$x\in \bar{A}$であるための 十分条件である。

解答ク：1