最初に、二項分布の復習をしよう。

この問題の
ジャガイモが大量にあって、そのうち$25$％が200ｇを超える。ここから$400$個抽出するとき、200ｇを超えるジャガイモが何個取り出されるか は、
$400$回の試行のうち、確率$0.25$で起こる事象が何回起こるか と同じことだ。

よって、復習から、抽出された200ｇを超えるジャガイモの数$Z$は、
二項分布$B(400,0.25)$ に従う。

解答ア：2, イ：5

また、その平均（期待値）は、復習より
$400\cdot 0.25=100$
である。

解答ウ：1, エ：0, オ：0

さらに、確率変数の変換の復習をしておく。

復習より、$R$の標準偏差$\sigma (R)$は、
$\sigma (R)=\left|{\displaystyle \frac{1}{400}}\right|$($Z$の標準偏差)式Ａ
とかける。

いま、(1)の復習より、$Z$の標準偏差は
$\sqrt{400\cdot 0.25\cdot (1-0.25)}=\sqrt{75}$
なので、式Ａは
$\sigma (R)=\left|{\displaystyle \frac{1}{400}}\right|\sqrt{75}$
と表せる。

これを計算して、
$$\begin{array}{rl}\sigma (R)& ={\displaystyle \frac{\sqrt{75}}{400}}\\ & ={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{400}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}\end{array}$$ である。

解答カ：2

同様に、$R$の平均（期待値）$E(R)$は、
$E(R)={\displaystyle \frac{1}{400}}\cdot$($Z$の平均)
にウエオを代入して、
$$\begin{array}{rl}E(R)& ={\displaystyle \frac{1}{400}}\cdot 100\\ & =0.25\end{array}$$ となる。

ここで、二項分布と正規分布の関係の復習をすると、

だった。

$400$は十分に大きいので、復習より、$R$は正規分布で近似できる。

上で求めたように、
$R$の平均は$0.25$ $R$の標準偏差は${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}$なので、分散は${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}\right)}^2$ だから、近似的に$R$が従う正規分布は
$N(0.25,{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}\right)}^2)$ である。

このことから、$R$の確率分布図は図Ａのようになる。

図の固定

ここで、
$P(R\geqq x)=0.0465$
となるとき、図Ａでいうと、オレンジの部分の面積が$0.0465$になるときを考える。
このときの$x$、つまり赤い線の$R$の値がキだ。

正規分布の面積なので、正規分布表を使おう。

図の固定

正規分布表に載っているのは、標準正規分布（図Ｂ）の面積。
図Ｂのオレンジの部分の面積が$0.0465$になるのは、緑の部分の面積が
$0.5-0.0465=0.4535$
になるとき。

$0.4535$を正規分布表で探すと、
$z_0=1.68$式Ｂ
であることが分かる。

これがキだ、と言いたいところだけど、図Ａと図Ｂでは目盛が違うので 式Ｂの値をそのまま使うわけにはいかない。
なので、目盛をそろえよう。
つまり、図Ｂの標準正規分布$N(0,1)$を、図Ａの$N(0.25,{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}\right)}^2)$に変換しよう。

なので、
平均を$0$から$0.25$に 標準偏差を$1$から${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}$に 変えればよい。

(2)の最初にした確率変数の変換の復習から、
平均を$0.25$大きくするためには、確率変数に$0.25$をたす 標準偏差を${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}$倍にするには、確率変数に${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}$をかける 作業をすればよい。

よって、
$\boxed{\text{キ}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{80}}{Z}_0+0.25$
とかけるから、これに式Ｂと$\sqrt{3}=1.73$を代入して、
$$\begin{array}{rl}\boxed{\text{キ}}& ={\displaystyle \frac{1.73}{80}}\cdot 1.68+0.25\\ & \doteqdot 0.286\end{array}$$ である。

解答キ：2

確率変数$X$は
$100\leqq X\leqq 300$
であり、$X$の確率密度関数を
$f(x)=ax+b$
とする。

$X$は$100\leqq X\leqq 300$以外の値にはならないので、
$P(100\leqq X\leqq 300)$
はすべての確率の和だ。

すべての確率の和は$1$だから、
$P(100\leqq X\leqq 300)=1$
である。

解答ク：1

以上を確率分布図で表すと、図Ｃができる。

図の固定

図Ｃは確率分布図なので、確率は $f(x)$と横軸の間の面積に等しい。
なので、クで求めた
$P(100\leqq X\leqq 300)=1$
は、図Ｃの緑の部分の面積にあたる。

図Ｃの緑の部分の面積は
${\displaystyle {\int }_{100}^{300}f(x)dx={\int }_{100}^{300}(ax+b)dx}$
とかける。
この面積が$1$なので、
${\displaystyle {\int }_{100}^{300}(ax+b)dx=1}$式Ｃ
だ。

式Ｃを計算して、$a$と$b$の関係式をつくる。
積分してもいいんだけど、せっかくだから違う方法をしよう。
台形の面積として求める。

台形の面積の公式
${\displaystyle \frac{1}{2}}\times ($上底$+$下底$)\times$高さ
より、緑の部分の面積は
緑$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \{f(100)+f(300)\}\cdot (300-100)$
とかける。

緑の部分の面積は$1$なので、
${\displaystyle \frac{1}{2}}\{f(100)+f(300)\}\cdot (300-100)=1$

これを計算して、

解答ケ：4, コ：2

$a$と$b$の関係式がひとつできた。
もうひとつ式があると、連立方程式で$a$と$b$の値が求められる。
なので、もうひとつ式をつくろう。

$X$の平均$m$は
$$\begin{array}{rl}m& ={\int }_{100}^{300}xf(x)dx\\ & ={\int }_{100}^{300}x(ax+b)dx\mathrm{式}Ｄ\end{array}$$ とかける。

これを計算して、$m$を標本平均の$180$とすると、問題文より
${\displaystyle \frac{26}{3}}\cdot {10}^{6}a+4\cdot {10}^{4}b=180$②
ができる。

問題を解くときには式Ｄから②への計算はしなくてもいいけど、念のために計算を次に載せておく。

$a$と$b$の関係式が2つできたので、連立方程式にして$a$，$b$を求めよう。
$a$，$b$が分かると、$f(x)$が求められる。

①と②の連立方程式
$\{\begin{array}{l}4\cdot {10}^{4}a+2\cdot {10}^{2}b=1\mathrm{①}\\ {\displaystyle \frac{26}{3}}\cdot {10}^{6}a+4\cdot {10}^{4}b=180\mathrm{②}\end{array}$
を解く。

②の両辺を$3$倍して、
$26\cdot {10}^{6}a+12\cdot {10}^{4}b=560$

①の両辺を$6\cdot {10}^2$倍して、
$24\cdot {10}^{6}a+12\cdot {10}^{4}b=600$

この2つの式を辺々引くと、

なので、

これを①に代入して、
$4\cdot {10}^4\cdot (-3\cdot {10}^{-5})+2\cdot {10}^{2}b=1$
より
$-12\cdot {10}^{-1}+2\cdot {10}^{2}b=1$

${10}^{-1}$は面倒なので、両辺を$10$倍して、
$-12+2\cdot {10}^{3}b=10$

よって、$f(x)$は、
$f(x)=-3\cdot {10}^{-5}x+11\cdot {10}^{-3}$③
となる。

解答サ：3, シ：1, ス：1

最後に問われているのは、200ｇ以上のジャガイモの割合だ。
200ｇ以上の割合は、ジャガイモを１個取り出したときに200ｇ以上である確率と等しい。
なので、この確率を求める。
使うのは、③の$f(x)$だ。

マイナスの指数表記だとイメージがわかないって人もいるだろうから、③を
$f(x)=-{\displaystyle \frac{3}{{10}^5}}x+{\displaystyle \frac{11}{{10}^3}}$
と変形しておく。
もちろん、③式のままで大丈夫な人は変形しなくてOK。

図Ｃのときと同様に考えると、ジャガイモが200ｇ以上である確率は、図Ｄの斜線部分の面積にあたる。
これがセだ。

図の固定

さっきと同じように台形の面積として求めると、
$\boxed{\text{セ}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \{f(200)+f(300)\}\cdot (300-200)$

解答セ：2