$5^4$を$2^4$で割ったときの余りが$1$なので、このときの商を$A$とすると、
$5^4÷2^4=A\dots 1$
より
$5^4=2^{4}A+1$
$5^4-2^{4}A=1$
とかける。

この式と 問題文中の①式を見比べると、①式は
$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=A\end{array}$
で成り立つことが分かる。

$1$は最小の正の整数なので、
$x$が正の整数で最小になるのは
$x=1$
のとき。

解答ア：1

このときの$y$は、
$5^4-2^{4}y=1$
より
$2^{4}y=5^4-1$
$$\begin{array}{rl}y=& {\displaystyle \frac{5^4-1}{2^4}}\\ & ={\displaystyle \frac{624}{2^4}}\\ & =39\end{array}$$ である。

解答イ：3, ウ：9

①式の整数解がひとつ見つかったので、あとは定期テストなんかでよく見るお決まりの作業だ。

アイウと①式より
$5^4\cdot 1-2^4\cdot 39=1$式Ａ
という式がつくれる。

①式から式Ａを辺々引くと

	$5^{4}x$	$-2^{4}y$	$=1$
$-)$	$5^4\cdot 1$	$-2^4\cdot 39$	$=1$
	$5^4(x-1)$	$-2^4(y-39)$	$=0$

となるから、
$5^4(x-1)=2^4(y-39)$
と表せる。

この式が成り立つためには、$5^4$と$2^4$は互いに素なので、$n$を整数として
$\{\begin{array}{l}x-1=2^{4}n\\ y-39=5^{4}n\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=16n+1\mathrm{式}Ｂ\\ y=625n+39\mathrm{式}Ｃ\end{array}$
でなければならない。

問われているのは、この$x$が2桁の正の整数のとき。
つまり、
$10\leqq x$
のとき。

これを$n$の範囲で表すと、式Ｂより
$10\leqq 16n+1$

途中式

$9\leqq 16n$
${\displaystyle \frac{9}{16}}\leqq n$
となるけど、$n$は整数なので、$x$が2桁の正の整数になるのは

$1\leqq n$式Ｄ
のとき。

式Ｂを見ると、$n$が大きくなるにつれて$x$も大きくなる。
なので、$n$が最小のとき、$x$も最小になる。

よって、式Ｄを満たす最小の$n$である
$n=1$
のときの$x$，$y$が答えだ。

答えは、$n=1$を式Ｂ，式Ｃに代入して、
$$\begin{array}{rl}x& =16\cdot 1+1\\ & =17\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}y& =625\cdot 1+39\\ & =664\end{array}$$ である。

解答エ：1, オ：7, カ：6, キ：6, ク：4

$625=5^4$
なので、
$$\begin{array}{rl}{625}^2& =(5^4{)}^2\\ & =5^8\end{array}$$ である。

解答ケ：8

$$\begin{array}{rl}m& =\boxed{\text{イウ}}\\ & =39\end{array}$$ のとき、式Ａより
$5^4\cdot 1-2^{4}m=1$
$625=2^{4}m+1$
とかける。

この両辺を2乗すると、
$$\begin{array}{rl}{625}^2& =(2^{4}m+1{)}^2\\ & =2^8{m}^2+2\cdot 2^{4}m+1^2\\ & =2^8{m}^2+2^{5}m+1\mathrm{式}Ｅ\end{array}$$ となって、問題文と同じ式ができる。

解答コ：5

問題文にあるように、
②の解の$x$について、$5^{5}x-{625}^2$は$5^5\cdot 2^5$の倍数 である。

詳しく

共通テスト本番では、問題文の
「$5^{5}x-{625}^2$は$5^5\cdot 2^5$の倍数である」
をそのまま使って、理由を考える必要はない。
時間がもったいないから。
理由を説明すると、以下のようになる。

$x$は整数だから、$5^{5}x$は$5^5$の倍数 ${625}^2=5^8$は$5^5$の倍数 なので、$5^{5}x-{625}^2$は$5^5$の倍数である。

②式を変形すると
$5^{5}x=2^{5}y+1$
となり、$y$は整数だから、
$5^{5}x$は$2^5$の倍数$+1$
式Ｅを変形すると
${625}^2=2^5(2^3{m}^2+m)+1$
となり、$m$は整数だから、
${625}^2$は$2^5$の倍数$+1$
よって、
$$\begin{array}{rl}{5}^{5}x-{625}^2& =(2^5\text{の倍数}+1)\\ & -(2^5\text{の倍数}+1)\\ & =2^5\text{の倍数}-2^5\text{の倍数}\end{array}$$ なので、$5^{5}x-{625}^2$は$2^5$の倍数である。

以上より、
$5^{5}x-{625}^2$は$5^5\cdot 2^5$の倍数である

よって、$\ell$を整数として
$5^{5}x-{625}^2=5^5\cdot 2^5\ell$
とかける。

これを変形すると、$x$は
$5^{5}x-5^8=5^5\cdot 2^5\ell$
$x-5^3=2^5\ell$
$x=2^5\ell +5^3$式Ｆ
と表せる

問われているのは、この$x$が3桁の正の整数のとき。
つまり
$100\leqq x<1000$
のとき。

これを$\ell$の範囲で表すと、式Ｆより
$100\leqq 2^5\ell +5^3<1000$式Ｇ
とかける。

式Ｆを見ると、$\ell$が大きくなるにつれて$x$も大きくなる。
つまり、$x$が最小になるのは$\ell$が最小のときだ。
なので、式Ｇの青い部分の計算は省略する

式Ｇを変形すると
$100-5^3\leqq 2^5\ell$
$-25\leqq 32\ell$
$-{\displaystyle \frac{25}{32}}\leqq \ell$
だけど、$\ell$は整数なので、
$0\leqq \ell$
となる。

これを満たす最小の$\ell$である
$\ell =0$
のときの$x$，$y$が答えだ。

$x$の答えは、式Ｆに$\ell =0$を代入して、
$$\begin{array}{rl}x& =5^3\\ & =125\end{array}$$

解答サ：1, シ：2, ス：5

$y$の答えは、$x=5^3$を②式に代入して、
$5^5\cdot 5^3-2^{5}y=1$
$5^8-2^{5}y=1$

これを解いて、
$2^{5}y=5^8-1$
$y={\displaystyle \frac{5^8-1}{2^5}}$式Ｈ

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{y}& ={\displaystyle \frac{(5^4+1)(5^4-1)}{2^5}}\\ & ={\displaystyle \frac{(625+1)(625-1)}{2^5}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\cancel{624}}^{39}\cdot {\cancel{626}}^{313}}{\cancel{2^5}}}\\ & =39\cdot 313\end{array}$$

$\phantom{y}=12207$
である。

解答セ：1, ソ：2, タ：2, チ：0, ツ：7

ここで、数字が${11}^4$と$2^4$に変わった。
これまで$5^4$と$2^4$を使って解いてきたのと同じ作業を 違う数字でしなさい、という問題だ。
なので、(1)のはじめから、${11}^4$と$2^4$でやってみよう。

${11}^4$を$2^4$で割ったときの余りが$1$なので、このときの商を$B$とすると、
${11}^4÷2^4=B\dots 1$
より
${11}^4=2^{4}B+1$
とかける。

この式の両辺を2乗すると、
$({11}^4{)}^2=(2^{4}B+1{)}^2$
$$\begin{array}{rl}{11}^8& =2^8{B}^2+2\cdot 2^{4}B+1^2\\ & =2^8{B}^2+2^{5}B+1\end{array}$$ となる。

なので、${11}^8$を$2^5$で割った余りは
$1$
であることが分かる。

また、問題の不定方程式
${11}^{5}x-2^{5}y=1$
より、${11}^{5}x$を$2^5$で割った余りは
$1$
であるはずだ。

よって、(3)で考えたのと同様に、
${11}^{5}x-{11}^8$は${11}^5\cdot 2^5$の倍数 であることが分かる。

なので、$k$を整数として、問題の不定方程式の解$x$は
${11}^{5}x-{11}^8={11}^5\cdot 2^{5}k$
より
$x-{11}^3=2^{5}k$
$x=2^{5}k+{11}^3$式Ｉ
と表せる。

いま問われているのは、この$x$が正の整数のとき。
つまり
$1\leqq x$
のとき。

これを$k$の範囲で表すと、式Ｉより
$1\leqq 2^{5}k+{11}^3$

途中式

$1-{11}^3\leqq 32k$
$-1330\leqq 32k$
$-{\displaystyle \frac{1330}{32}}\leqq k$
となる。
ここで、$k$は整数で、
$-{\displaystyle \frac{1330}{32}}\doteqdot -41.5\dots$
くらいの数なので、$x$が正の整数になるのは

$-41\leqq k$式Ｊ
のとき。

式Ｉを見ると、$k$が大きくなるにつれて$x$も大きくなる。
なので、$k$が最小のとき、$x$も最小だ。

よって、式Ｊを満たす最小の$k$である
$k=-41$
のときの$x$，$y$が答えだ。

$x$の答えは、式Ｉに$k=-41$を代入して、
$$\begin{array}{rl}x& =2^5(-41)+{11}^3\\ & =32(-41)+1331\\ & =-1312+1331\\ & =19\end{array}$$ である。

解答テ：1, ト：9

このときの$y$は、問題文中の不定方程式
${11}^{5}x-2^{5}y=1$
に
$x=19$
を代入して、
${11}^5\cdot 19-2^{5}y=1$
より
$2^{5}y={11}^5\cdot 19-1$
$y={\displaystyle \frac{{11}^5\cdot 19-1}{2^5}}$
とかける。

こんな計算はしたくないけど、仕方がない。

右辺の分子を展開して、
$$\begin{array}{rl}y& ={\displaystyle \frac{161051\times 19-1}{2^5}}\\ & ={\displaystyle \frac{3059968}{2^5}}\\ & =95624\end{array}$$ である。

解答ナ：9, ニ：5, ヌ：6, ネ：2, ノ：4