大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試数学Ⅰ 第１問 [2] 解説

ア～セ

以下の解説では、
$y = x^{2} + p x + r$ を関数Ａ $y = x^{2} + q x + s$ を関数Ｂと呼ぶことにする。

二次方程式
$x^{2} + p x + r = 0$ 式Ａ
に解の公式を使うと、
$\begin{aligned} x & = \frac{- p \pm \sqrt{p^{2} - 4 \cdot 1 \cdot r}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- p \pm \sqrt{p^{2} - 4 r}}{2} \end{aligned}$ となる。

解答コ：２, サ：４, シ：２

この式の赤い部分を
$D_{1} = p^{2} - 4 r$ 式Ｂ
とおくと、解の公式の根号の中は判別式なので、式Ｂは式Ａの二次方程式の判別式にあたる。

よって、
$D_{1} < 0$ のとき、式Ａは実数解をもたない
$\to$ 関数Ａは $x$ 軸と共有点をもたない $D_{1} ≧ 0$ のとき、式Ａは実数解をもつ
$\to$ 関数Ａは $x$ 軸と共有点をもつことが分かる。

二次方程式
$x^{2} + q x + s = 0$ 式Ｃ
で同様の作業をすると、この方程式の判別式は
$D_{2} = q^{2} - 4 s$ 式Ｄ
となる。

よって、
$D_{2} < 0$ のとき、式Ｃは実数解をもたない
$\to$ 関数Ｂは $x$ 軸と共有点をもたない $D_{2} ≧ 0$ のとき、式Ｃは実数解をもつ
$\to$ 関数Ｂは $x$ 軸と共有点をもつことが分かる。

以上をまとめると、表Ａができる。

表の固定

表Ａ

			関数Ａが $x$ 軸と共有点を
			もたない	もつ
			$D_{1} < 0$	$D_{1} ≧ 0$
関数Ｂが $x$ 軸と共有点を	もたない	$D_{2} < 0$
関数Ｂが $x$ 軸と共有点を	もつ	$D_{2} ≧ 0$

「ふたつの二次関数の少なくとも一方は $x$ 軸と共有点をもつ」にあたるのは、表Ａの緑の部分。
つまり
$D_{1} ≧ 0$ または $D_{2} ≧ 0$

解答ス：３

スが成り立たないのは、表Ａの緑以外の部分。
つまり
$D_{1} < 0$ かつ $D_{2} < 0$

解答セ：０

である。

セの別解

セはスの否定なので、
$\overset{―}{D_{1} ≧ 0 \cup D_{2} ≧ 0}$
とかける。

これは、ド・モルガンの法則から
$\overset{―}{D_{1} ≧ 0} \cap \overset{―}{D_{2} ≧ 0}$
より
$D_{1} < 0 \cap D_{2} < 0$
と表すことができる。

解答セ：０

ソ～チ

ここからは、背理法での命題Ｂの証明だ。
つまり、
$p q = 2 (r + s) \Rightarrow D_{1} < 0$ かつ $D_{2} < 0$ であると仮定すると、矛盾が起こることを示す。

$D_{1} < 0$ かつ $D_{2} < 0$
ならば、
$D_{1} + D_{2} < 0$
である。

解答ソ：１

また、式Ｂと式Ｄを辺々たすと、

	$D_{1}$	$=$	$p^{2} - 4 r$
$-)$	$D_{2}$	$=$	$q^{2} - 4 s$
$D_{1} + D_{2}$		$=$	$p^{2} + q^{2} - 4 r - 4 s$

$\begin{aligned} = p^{2} + q^{2} - 4 (r + s) \\ = p^{2} + q^{2} - 2 \cdot 2 (r + s) \end{aligned}$ とかける。

この式の赤い部分に
$p q = 2 (r + s)$
を代入すると、
$D_{1} + D_{2} = p^{2} + q^{2} - 2 p q$
と表せる。

解答タ：１

これはさらに
$\begin{aligned} D_{1} + D_{2} & = p^{2} - 2 p q + q^{2} \\ = (p - q)^{2} \end{aligned}$ と変形できるから、
$D_{1} + D_{2} ≧ 0$
であることが分かる。

解答チ：３

よって、
$p q = 2 (r + s)$
ならば
$D_{1} + D_{2} ≧ 0$
である。

以上より
$p q = 2 (r + s) \Rightarrow D_{1} < 0$ かつ $D_{2} < 0$ は成り立たない。

よって、
$p q = 2 (r + s) \Rightarrow \overset{―}{D_{1} < 0 かつ D_{2} < 0}$ つまり
$p q = 2 (r + s)$
$\Rightarrow D_{1} ≧ 0$ または $D_{2} ≧ 0$ 命題Ｂは真である。