大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学Ⅰ 第１問 [2] 解説
ア～セ
以下の解説では、
$y=x^{2}+px+r$を関数Ａ
$y=x^{2}+qx+s$を関数Ｂ
と呼ぶことにする。
二次方程式
$x^{2}+px+r=0$式Ａ
に解の公式を使うと、
$x=\displaystyle \frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4\cdot 1\cdot r}}{2\cdot 1}$
$\phantom{ x\displaystyle } \displaystyle =\frac{-p\pm\sqrt{\textcolor{red}{p^{2}-4r}}}{2}$
となる。
解答コ：２, サ：４, シ：２
この式の赤い部分を
$D_{1}=p^{2}-4r$式Ｂ
とおくと、解の公式の根号の中は判別式なので、式Ｂは式Ａの二次方程式の判別式にあたる。
よって、
$D_{1} \lt 0$のとき、式Ａは実数解をもたない
→ 関数Ａは$x$軸と共有点をもたない
$D_{1}\geqq 0$のとき、式Ａは実数解をもつ
→ 関数Ａは$x$軸と共有点をもつ
ことが分かる。
二次方程式
$x^{2}+qx+s=0$式Ｃ
で同様の作業をすると、この方程式の判別式は
$D_{2}=q^{2}-4s$式Ｄ
となる。
よって、
$D_{2} \lt 0$のとき、式Ｃは実数解をもたない
→ 関数Ｂは$x$軸と共有点をもたない
$D_{2}\geqq 0$のとき、式Ｃは実数解をもつ
→ 関数Ｂは$x$軸と共有点をもつ
ことが分かる。
以上をまとめると、表Ａができる。
| 関数Ａが $x$軸と共有点を | ||||
|---|---|---|---|---|
| もたない | もつ | |||
| $D_{1} \lt 0$ | $D_{1}\geqq 0$ | |||
| 関数Ｂが $x$軸と 共有点を | もたない | $D_{2} \lt 0$ | ||
| もつ | $D_{2}\geqq 0$ | |||
「ふたつの二次関数の少なくとも一方は$x$軸と共有点をもつ」にあたるのは、表Ａの緑の部分。
つまり
$D_{1}\geqq 0$ または $D_{2}\geqq 0$
解答ス：３
スが成り立たないのは、表Ａの緑以外の部分。
つまり
$D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$
解答セ：０
である。
セの別解
セはスの否定なので、
$\overline{D_{1} \geqq 0\ \text{または} D_{2} \geqq 0}$
とかける。
これは、ド・モルガンの法則から
$\overline{D_{1} \geqq 0}$ かつ $\overline{D_{2} \geqq 0}$
より
$D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$
と表すことができる。
解答セ：０
ソ～チ
ここからは、背理法での命題Ｂの証明だ。
つまり、
$pq=2(r+s) \Rightarrow\ D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$
であると仮定すると、矛盾が起こることを示す。
$D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$
ならば、
$D_{1}+D_{2} \lt 0$
である。
解答ソ：１
また、式Ｂと式Ｄを辺々たすと、
| $D_{1}$ | $=$ | $p^{2}-4r$ | |
| $-)$ | $D_{2}$ | $=$ | $q^{2}-4s$ |
| $D_{1}+D_{2}$ | $=$ | $p^{2}+q^{2}-4r-4s$ | |
$\phantom{ D_{1}+D_{2} } =p^{2}+q^{2}-4(r+s)$
$\phantom{ D_{1}+D_{2} } =p^{2}+q^{2}-2\cdot \textcolor{red}{2(r+s)}$
とかける。
この式の赤い部分に
$pq=2(r+s)$
を代入すると、
$D_{1}+D_{2}=p^{2}+q^{2}-2pq$
と表せる。
解答タ：１
これはさらに
$D_{1}+D_{2}=p^{2}-2pq+q^{2}$
$\phantom{ D_{1}+D_{2} } =(p-q)^{2}$
と変形できるから、
$D_{1}+D_{2}\geqq 0$
であることが分かる。
解答チ：３
よって、
$pq=2(r+s)$
ならば
$D_{1}+D_{2}\geqq 0$
である。
以上より
$pq=2(r+s) \Rightarrow\ D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$
は成り立たない。
よって、
$pq=2(r+s) \Rightarrow\ \overline{D_{1} \lt 0\ \text{かつ} D_{2} \lt 0}$
つまり
$pq=2(r+s)$
$\hspace{50px}\Rightarrow\ D_{1}\geqq 0$ または $D_{2}\geqq 0$命題Ｂ
は真である。