$Q(x)=0$に解の公式を使って、このときの$x$は
$x={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}}$
とかける。

これを計算して、
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{-7}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{7}i}{2}}\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ である。

解答ア：１, イ：７, ウ：２

$P(x)$を$Q(x)$で割ると

となる。

$P(x)$は$Q(x)$で割り切れるから、余りは$0$だ。
なので、上の筆算の赤い部分は
$n-2(m+3)=0$
である。

よって、
$$\begin{array}{rl}n& =2(m+3)\\ & =2m+6\end{array}$$ と表せる。

解答エ：２, オ：６

また、$R(x)$は筆算の緑の部分なので
$$\begin{array}{rl}R(x)& =x^2+mx+(m+3)\\ & =x^2+mx+m+3\end{array}$$ である。

解答カ：３

方程式
$R(x)=0$
つまり
$x^2+mx+(m+3)=0$式Ｂ
が異なる２つの虚数解をもつときを考える。

$R(x)$の判別式を$D$とすると、
$$\begin{array}{rl}D& =m^2-4\cdot 1\cdot (m+3)\\ & =m^2-4m-12\\ & =(m+2)(m-6)\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$ である。

$R(x)=0$は２つの異なる虚数解をもつので、
$D<0$
つまり
$(m+2)(m-6)<0$
だから、このときの$m$の範囲は
$-2<m<6$式Ｄ
となる。

解答キ：－, ク：２, ケ：６

これを
$\alpha \beta (\alpha +\beta )=-10$
に代入すると
$(m+3)(-m)=-10$
$m(m+3)-10=0$
となって、$m$についての方程式
$m^2+3m-10=0$
ができる。

これを解くと
$(m+5)(m-2)=0$
より
$m=-5$，$2$
となる。

このうち、$m=-5$は式Ｄの範囲に当てはまらないので不適。
求める$m$は
$m=2$
である。

解答シ：２

これを式Ｂに代入すると、このときの方程式$R(x)=0$は
$x^2+2x+(2+3)=0$
より
$x^2+2x+5=0$
であることが分かる。

この方程式の解は、解の公式より
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}}\\ & ={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2(1-5)}}{2}}\\ & =-1\pm 2i\end{array}$$ となる。

解答ス：－, セ：１, ソ：２

これまでの作業をまとめておこう。

この３つを材料にして(4)を解くんだけど、その前にひとつ確認しておこう。

復習より、
式Ａの２つの値の一方が$R(x)=0$の解であれば、もう一方も$R(x)=0$の解である。 言いかえると、
$Q(x)=0$と$R(x)=0$が共通解をもつとき、$R(x)=0$の解も式Ａである。

したがって、このとき
$R(x)=Q(x)$
となるから、
$x^2+mx+(m+3)=x^2-x+2$
とかける。

よって、このとき、
$m=-1$式Ｅ
である。

ここまで来れば勝ったも同然だ。
残りのタ～ニを片付けてしまおう。