大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試数学ⅡＢ第１問 [1] 解説

(1)

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 4 ≦ 0$
を $x$ ， $y$ について平方完成すると、
$(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} - 10 y + 25) - 25 ≦ 0$
より
$(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} ≦ 5^{2}$
と変形できる。

よって、この不等式が表す領域 $D$ は、
中心が $(2, 5)$ 半径が $5$ の円の周および内部である。

解答ア：2, イ：5, ウ：5, エ：3

(2) (i)

(1)から、点 $A$ と点 $Q$ ，円 $C$ と領域 $D$ のグラフを描くと、図Ａができる。

図の固定

領域 $D$ は緑の範囲で、境界線、つまり円 $C$ を含む。

図Ａのように、点 $A$ は $x$ 軸上にあり、円 $C$ は $x$ 軸に接する。
よって、 $x$ 軸、つまり
$y = 0$
は点 $A$ を通り円 $C$ に接する。

解答オ：0

(2) (ii)

$y = k (x + 8)$
を
$x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 4 = 0$
に代入するということは、この2つの式を連立方程式として解くということ。

なので、その解は
2つの図形の共有点の座標である。

円と直線が接するとき、共有点は1個。
なので、連立方程式の解も1個になる。

以上より、直線 $ℓ$ が円 $C$ の接線のとき、問題文の2次方程式は重解をもつ。

解答カ：0

(2) (iii)

図の固定

図Ｂのように、点 $A$ を通る $C$ の接線のうち、 $y = 0$ じゃない方を $ℓ_{0}$ とする。
また、 $C$ と $y = 0$ および $ℓ_{0}$ との接点を、それぞれ点 $R$ ，点 $S$ とする。

$x$ 軸と直線 $AQ$ のなす角を $θ$ とするとき、直角三角形 $AQR$ を使って
$\tan θ = \frac{QR}{AR}$
とかける。

ここで、点 $A$ ，点 $Q$ の座標から
$AR = 2 - (- 8)$
$= 10$ $QR = 5$ である。

なので、
$\begin{aligned} \tan θ & = \frac{5}{10} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}$ となる。

解答キ：1, ク：2

キクの計算で分かるように、直線と $x$ 軸のなす角 $θ$ のタンジェントは
$\tan θ = \frac{y の増加量}{x の増加量}$
と表せる。
これは直線の傾きに等しい。

同様に、次に問われている $ℓ_{0}$ の傾きは
$\tan ∠ SAR$ と等しい。

いま、図Ｂのオレンジの三角形と青い三角形は合同だ。

詳しく

図Ｂで、
$QR = QS$ （ひとつの円の半径） $AR = AS$ （ひとつの点からひとつの円に引いた2本の接線の長さは等しい） $AQ$ は共通 $AR$ ⊥ $QR$ ， $AS$ ⊥ $QS$ （接線と接点を通る半径は垂直）である。

これらを組合せて、△ $AQR$ と△ $AQS$ の
三辺が等しい二辺と間の角が等しい直角三角形で、斜辺と他の一辺が等しいなどの証明ができる。

よって、図Ｂの
● $= θ$
だから、
$∠ SAR = 2 θ$
となる。

以上より、接線 $ℓ_{0}$ の傾きは
$\tan 2 θ$
である。

解答ケ：1

(2) (iv)

で、 $k_{0}$ を求めるんだけど、問題文の指示にあるように(ii)，(iii)のどちらの方法を使ってもいい。
ここでは両方解説して、さらに別解をひとつ紹介しておく。

(ii)の方法

(ii)の方程式
$\begin{aligned} (k^{2} + 1) & x^{2} + (16 k^{2} - 10 k - 4) x \\ + 64 k^{2} - 80 k + 4 = 0 式Ａ \end{aligned}$
が重解をもつときの $k$ のうち、 $k = 0$ じゃない方が $k_{0}$ だ。

式Ａが重解をもつのは、判別式 $= 0$ より
$\begin{aligned} (16 k_{0}^{2} - & 10 k_{0} - 4)^{2} \\ - 4 (k_{0}^{2} + 1) (64 k_{0}^{2} - 80 k_{0} + 4) = 0 \end{aligned}$
のとき。

途中式

これを整理すると、
$\begin{aligned} 2^{2} (8 k_{0}^{2} - 5 k_{0} - 2)^{2} \\ - 4 (k_{0}^{2} + 1) (64 k_{0}^{2} - 80 k_{0} + 4) = 0 \\ (64 k_{0}^{4} - 80 k_{0}^{3} - 32 k_{0}^{2} + 25 k_{0}^{2} + 20 k_{0} + 4) \\ - (64 k_{0}^{4} - 80 k_{0}^{3} + 4 k_{0}^{2} \\ + 64 k_{0}^{2} - 80 k_{0} + 4) = 0 \\ - 75 k_{0}^{2} + 100 k_{0} = 0 \\ 3 k_{0}^{2} - 4 k_{0} = 0 \\ k_{0} (3 k_{0} - 4) = 0 \end{aligned}$ となる。

よって、
$k_{0} = 0$ ， $\frac{4}{3}$
だけど、 $k_{0} \neq 0$ なので、求める $k_{0}$ は
$k_{0} = \frac{4}{3}$
である。

解答コ：4, サ：3

(iii)の方法

(iii)より
$k_{0} = \tan 2 θ$ $\tan θ = \frac{1}{2}$ であることが分かっている。
これを使って $k_{0}$ を求める。

ここで、2倍角の公式の復習をすると、

公式

$\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$
$\begin{aligned} \cos 2 θ & = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = 1 - 2 \sin^{2} θ \\ = 2 \cos^{2} θ - 1 \end{aligned}$ $\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$ 式Ｂ

だった。

公式の式Ｂより、
$\begin{aligned} k_{0} & = \tan 2 θ \\ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{aligned}$ とかける。

これに $\tan θ = \frac{1}{2}$ を代入して、
$\begin{aligned} k_{0} & = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}} \\ = \frac{1}{\frac{3}{4}} \\ = \frac{4}{3} \end{aligned}$ である。

解答コ：4, サ：3

別解

$k_{0}$ を求める方法は他に何通りも考えられるけど、ここでは点と直線の距離の公式を使う方法だけを紹介しておく。

先に点と直線の距離の公式を復習しておこう。

公式

直線 $a x + b y + c = 0$
と
点 $(α, β)$
の距離 $d$ は、
$d = \frac{| a α + b β + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

だった。

図の固定

この問題では、図Ｃのように、
点 $Q$ と直線 $ℓ_{0}$ の距離が、円 $C$ の半径になればよい。

直線 $ℓ_{0}$ の式は、
$y = k_{0} (x + 8)$
なので
$k_{0} x - y + 8 k_{0} = 0$
と変形できる。

よって、点と直線の距離の公式から、
$\frac{| 2 k_{0} - 5 + 8 k_{0} |}{\sqrt{k_{0}^{2} + (- 1)^{2}}} = 5$
と表せる。

途中式

これを整理して、
$\frac{| 10 k_{0} - 5 |}{\sqrt{k_{0}^{2} + 1}} = 5$
両辺を $5$ で割って、
$\frac{| 2 k_{0} - 1 |}{\sqrt{k_{0}^{2} + 1}} = 1$

左辺の分母を払って、
$| 2 k_{0} - 1 | = \sqrt{k_{0}^{2} + 1}$
両辺を2乗して、
$(2 k_{0} - 1)^{2} = k_{0}^{2} + 1$
$4 k_{0}^{2} - 4 k_{0} + 1 = k_{0}^{2} + 1$
$3 k_{0}^{2} - 4 k_{0} = 0$
$k_{0} (3 k_{0} - 4) = 0$
である。

よって、
$k_{0} = 0$ ， $\frac{4}{3}$
となるけど、 $k_{0} \neq 0$ なので、求める $k_{0}$ は
$k_{0} = \frac{4}{3}$
である。

解答コ：4, サ：3

図の固定

最後は、 $k$ の範囲だ。

これまでの作業から、図Ｄのような関係が分かっている。

直線 $ℓ$ と領域 $D$ が共有点をもつのは、 $ℓ$ の傾きが図Ｄのオレンジの矢印の範囲のとき。
また、領域 $D$ は境界線（円 $C$ ）を含む。
なので、 $ℓ$ が図Ｄ中の赤い直線・青い直線と重なる場合もOK。

以上より、求める $ℓ$ の傾き $k$ は
$0 ≦ k ≦ k_{0}$
の範囲にあればよいことが分かる。

解答シ：５

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