△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使うと
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2R$式Ａ
とかける。

これに$\mathrm{AC}$，$R$の値を代入して、
$\displaystyle \frac{4}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin\angle \mathrm{ABC}=4$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{4}{2\cdot 3}$
$\phantom{ \displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC} } \displaystyle =\frac{2}{3}$
である。

解答ソ：2, タ：3

さらに、△$\mathrm{ABD}$は直角三角形なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\sin\angle \mathrm{ABC}$式Ｂ
である。

これに$\mathrm{AB}$，$\sin\angle \mathrm{ABC}$の値を代入すると、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{5}=\frac{2}{3}$
両辺を$5$倍して、
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{10}{3}$
となる。

解答チ：1, ツ：０, テ：３

アドバイス

図Ａには、△$\mathrm{ABC}$が鋭角三角形になる場合を載せておいた。
問題の条件からは、図Ｂのような鈍角三角形も考えられる。
どちらの三角形を使っても、解き方は変わらない。

図の固定

三角形の辺は、外接円の直径より長くなることはない。
なので、

	$\mathrm{AB}\leqq 6$式Ｃ
	$\mathrm{BC}\leqq 6$
	$\mathrm{AC}\leqq 6$式Ｄ

である。

問題文中の
$2\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=14$
を
$\mathrm{AC}=14-2\mathrm{AB}$式Ｅ
と変形して 式Ｄに代入すると、
$14-2\mathrm{AB}\leqq 6$
より
$8\leqq 2\mathrm{AB}$
$4\leqq \mathrm{AB}$
であることが分かる。

これと式Ｃをあわせて、$\mathrm{AB}$の範囲は
$4\leqq \mathrm{AB}\leqq 6$
となる。

解答ト：４, ナ：６

アドバイス

次の問いの$\mathrm{AD}$の式をどうやってつくるか、迷う人は多いんじゃないだろうか。
こういうとき、共通テストやセンター試験では、前の問題がヒントになっていることも多い。

(1)では、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の値が分かっていて、$\mathrm{AD}$を求めた。
今度は$\mathrm{AD}$の式をつくるんだけど、$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の値は分からないし、求めようもない。
ならば、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$を文字のままにして、(1)と同じことをやってみよう。

(1)の式Ａに$R=3$を代入すると
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin\angle \mathrm{ABC}=\mathrm{AC}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$
と表せる。

これを(1)の式Ｂに代入して
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$
より、$\mathrm{AD}$の式
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$式Ｆ
ができる。

$\mathrm{AD}$の式はできたけど、ニヌネノハの式とはかなり違う。
とりあえず、ニヌネノハの式にない$\mathrm{AC}$を代入して消そう。

式Ｆに式Ｅを代入すると
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(14-2\mathrm{A}\mathrm{B})}{6}$
とかける。

これを整理して、$\mathrm{AD}$の式は
$\mathrm{AD} \displaystyle =\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(7-\mathrm{A}\mathrm{B})}{3}$式Ｇ
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =\frac{-\mathrm{A}\mathrm{B}^{2}+7\mathrm{A}\mathrm{B}}{3}$
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =\frac{-1}{3}\mathrm{AB}^{2}+\frac{7}{3}\mathrm{AB}$
である。

解答ニ：－, ヌ：1, ネ：3, ノ：7, ハ：3

最後は$\mathrm{AD}$の最大値だ。
二次式で表された値の最大値なので、2次関数の最大の問題だ。

式Ｇより、$\mathrm{AD}$は
$\displaystyle \mathrm{AD}=-\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(\mathrm{A}\mathrm{B}-7)}{3}$
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =-\frac{1}{3}\mathrm{AB}(\mathrm{AB}-7)$式Ｈ
とかける。

式Ｈがわかりにくい人は、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{A}\mathrm{B}=x\\
\mathrm{A}\mathrm{D}=y
\end{array}\right.$
とおいて、
$y=-\displaystyle \frac{1}{3}x(x-7)$式Ｈ'
とした方がイメージしやすいかも。

式Ｈ'の2次関数のグラフは
上に凸で $x=0$，$7$で$x$軸と交わる から、図Ｃのようなグラフだ。

放物線の軸は、$x$軸との2つの交点のちょうど真ん中、
$\displaystyle x=\frac{0+7}{2}$
$\phantom{x} \displaystyle =\frac{7}{2}$
である。

また、$x$，つまり$\mathrm{AB}$の定義域は、トナで求めた
$4\leqq x\leqq 6$
で、図Ｃ中の緑の部分。
よって、$y$，つまり$\mathrm{AD}$の最大値は、図Ｃ中の赤い点の$y$座標だ。

以上より、$\mathrm{AD}$の最大値は、式Ｈに
$\mathrm{AB}=4$
を代入して、
$\displaystyle \mathrm{AD}=-\frac{1}{3}\cdot 4(4-7)$
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =-\frac{1}{3}\cdot 4(-3)$
$\phantom{ \mathrm{AD} } =4$
である。

解答ヒ：4