△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使うと
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}=2R$式Ａ
とかける。

これに$\mathrm{AC}$，$R$の値を代入して、
${\displaystyle \frac{4}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=4$
$$\begin{array}{rl}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}& ={\displaystyle \frac{4}{2\cdot 3}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$ である。

解答ソ：2, タ：3

さらに、△$\mathrm{ABD}$は直角三角形なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$式Ｂ
である。

これに$\mathrm{AB}$，$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$の値を代入すると、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{5}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
両辺を$5$倍して、
$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{10}{3}}$
となる。

解答チ：1, ツ：０, テ：３

アドバイス

図Ａには、△$\mathrm{ABC}$が鋭角三角形になる場合を載せておいた。
問題の条件からは、図Ｂのような鈍角三角形も考えられる。
どちらの三角形を使っても、解き方は変わらない。

図の固定

三角形の辺は、外接円の直径より長くなることはない。
なので、
$\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}\leqq 6\mathrm{式}Ｃ\\ \mathrm{BC}\leqq 6\\ \mathrm{AC}\leqq 6\mathrm{式}Ｄ\end{array}$
である。

問題文中の
$2\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=14$
を
$\mathrm{AC}=14-2\mathrm{AB}$式Ｅ
と変形して 式Ｄに代入すると、
$14-2\mathrm{AB}\leqq 6$
より
$8\leqq 2\mathrm{AB}$
$4\leqq \mathrm{AB}$
であることが分かる。

これと式Ｃをあわせて、$\mathrm{AB}$の範囲は
$4\leqq \mathrm{AB}\leqq 6$
となる。

解答ト：４, ナ：６

アドバイス

次の問いの$\mathrm{AD}$の式をどうやってつくるか、迷う人は多いんじゃないだろうか。
こういうとき、共通テストやセンター試験では、前の問題がヒントになっていることも多い。

(1)では、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の値が分かっていて、$\mathrm{AD}$を求めた。
今度は$\mathrm{AD}$の式をつくるんだけど、$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の値は分からないし、求めようもない。
ならば、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$を文字のままにして、(1)と同じことをやってみよう。

(1)の式Ａに$R=3$を代入すると
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\mathrm{AC}$
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{6}}$
と表せる。

これを(1)の式Ｂに代入して
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{6}}$
より、$\mathrm{AD}$の式
$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}{6}}$式Ｆ
ができる。

$\mathrm{AD}$の式はできたけど、ニヌネノハの式とはかなり違う。
とりあえず、ニヌネノハの式にない$\mathrm{AC}$を代入して消そう。

式Ｆに式Ｅを代入すると
$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}(14-2\mathrm{AB})}{6}}$
とかける。

これを整理して、$\mathrm{AD}$の式は
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AD}& ={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}(7-\mathrm{AB})}{3}}\mathrm{式}Ｇ\\ & ={\displaystyle \frac{-{\mathrm{AB}}^2+7\mathrm{AB}}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{-1}{3}}{\mathrm{AB}}^2+{\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{AB}\end{array}$$ である。

解答ニ：－, ヌ：1, ネ：3, ノ：7, ハ：3

最後は$\mathrm{AD}$の最大値だ。
二次式で表された値の最大値なので、2次関数の最大の問題だ。

式Ｇより、$\mathrm{AD}$は
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AD}& =-{\displaystyle \frac{\mathrm{AB}(\mathrm{AB}-7)}{3}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{AB}(\mathrm{AB}-7)\mathrm{式}Ｈ\end{array}$$ とかける。

式Ｈがわかりにくい人は、
$\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=x\\ \mathrm{AD}=y\end{array}$
とおいて、
$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x(x-7)$式Ｈ'
とした方がイメージしやすいかも。

式Ｈ'の2次関数のグラフは
上に凸で $x=0$，$7$で$x$軸と交わる から、図Ｃのようなグラフだ。

放物線の軸は、$x$軸との2つの交点のちょうど真ん中、
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{0+7}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$ である。

また、$x$，つまり$\mathrm{AB}$の定義域は、トナで求めた
$4\leqq x\leqq 6$
で、図Ｃ中の緑の部分。
よって、$y$，つまり$\mathrm{AD}$の最大値は、図Ｃ中の赤い点の$y$座標だ。

以上より、$\mathrm{AD}$の最大値は、式Ｈに
$\mathrm{AB}=4$
を代入して、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AD}& =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 4(4-7)\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 4(-3)\\ & =4\end{array}$$ である。

解答ヒ：4