大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 追試数学ⅡＢ第３問解説

(1)

図Ａの箱Ａ，箱Ｂから１枚ずつカードを取り出し、書かれている数の
小さい方を $X$ 大きい方を $Y$ と定める。

両方のカードに書かれた数が同じときは、
$X = Y =$ 書かれた数とする。

まず、 $X$ と $Y$ の確率分布を求めよう。

$X$ を考えると、取り出したカードと $X$ の関係は、表Ａのとおり。

表の固定

表Ａ

		箱Ａ
		$1$	$2$	$3$	$4$
箱Ｂ	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
	$2$	$1$	$2$	$2$	$2$
	$3$	$1$	$2$	$3$	$3$
	$4$	$1$	$2$	$3$	$4$

表Ａの全てのマスは同じ確率で起こり、マスの数は $16$ 個。

$1$ のマスは $7$ 個あるから、 $X = 1$ となる確率は
$\frac{7}{16}$

解答ア：７

$2$ のマスは $5$ 個あるから、 $X = 2$ となる確率は
$\frac{5}{16}$

解答イ：５

$3$ のマスは $3$ 個あるから、 $X = 3$ となる確率は
$\frac{3}{16}$

解答ウ：３

$4$ のマスは $1$ 個あるから、 $X = 4$ となる確率は
$\frac{1}{16}$

解答エ：１

である。

同様に、取り出したカードと $Y$ の関係は、表Ｂのとおり。

表の固定

表Ｂ

		箱Ａ
		$1$	$2$	$3$	$4$
箱Ｂ	$1$	$1$	$2$	$3$	$4$
	$2$	$2$	$2$	$3$	$4$
	$3$	$3$	$3$	$3$	$4$
	$4$	$4$	$4$	$4$	$4$

表Ｂの全てのマスも同じ確率で起こり、マスの数は $16$ 個。

$1$ のマスは $1$ 個あるから、 $Y = 1$ となる確率は
$\frac{1}{16}$

$2$ のマスは $3$ 個あるから、 $Y = 2$ となる確率は
$\frac{3}{16}$

解答オ：３

$3$ のマスは $5$ 個あるから、 $Y = 3$ となる確率は
$\frac{5}{16}$

解答カ：５

$4$ のマスは $7$ 個あるから、 $Y = 4$ となる確率は
$\frac{7}{16}$

解答キ：７

である。

以上を、確率が大きい順に並べて書くと、表Ｃになる。

表の固定

表Ｃ

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	計
$Y$	$4$	$3$	$2$	$1$	計
$P$	$\frac{7}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$	$1$

表Ｃを見ると、確率が同じ $X$ と $Y$ をたすと、
$X + Y = 5$
より
$Y = 5 - X$
となることが分かる。

よって、確率変数 $Z$ を
$Z = 5 - X$
とすると、 $Y$ と同じ確率分布になる。

解答ク：５

(2)

表Ｃから、確率変数 $X$ の平均（期待値） $E (X)$ は、
$E (X) = 1 \cdot \frac{7}{16} + 2 \cdot \frac{5}{16} + 3 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot \frac{1}{16}$
とかける。

これを計算して、
$E (X) = \frac{7 + 10 + 9 + 4}{16}$
$= \frac{15}{8}$
である。

解答ケ：１, コ：５

標準偏差は問題文にあるから求める必要はないんだけれど、練習のために説明しておく。

復習

確率変数 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ は、 $X$ の分散を $V (X)$ として、
$σ (X) = \sqrt{V (X)}$

復習

次の表のような確率変数 $X$ があり、 $X$ の平均を $E (X)$ ， $X^{2}$ の平均を $E (X^{2})$ とする。

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$	計
$P (X)$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{n}$	$1$

このとき、確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ は、
$\begin{aligned} V (X) = & (x_{1} - E (X))^{2} \cdot p_{1} \\ + (x_{2} - E (X))^{2} \cdot p_{2} \\ + \dots + (x_{n} - E (X))^{2} \cdot p_{n} \end{aligned}$ 式Ａ
$= E (X^{2}) - E (X)^{2}$ 式Ｂ
である。

復習より、標準偏差を求めるために、まず分散を計算する。

解法１

復習の式Ａを使うと、
$\begin{aligned} V (X) \\ = {(1 - \frac{15}{8})}^{2} \cdot \frac{7}{16} + {(2 - \frac{15}{8})}^{2} \cdot \frac{5}{16} \\ + {(3 - \frac{15}{8})}^{2} \cdot \frac{3}{16} + {(4 - \frac{15}{8})}^{2} \cdot \frac{1}{16} \end{aligned}$

途中式

\begin{aligned} = {(- \frac{7}{8})}^{2} \cdot \frac{7}{16} + {(\frac{1}{8})}^{2} \cdot \frac{5}{16} \\ + {(\frac{9}{8})}^{2} \cdot \frac{3}{16} + {(\frac{17}{8})}^{2} \cdot \frac{1}{16} \\ = \frac{1}{8^{2} \cdot 16} \cdot {\begin{aligned} (- 7)^{2} \cdot 7 + 1^{2} \cdot 5 \\ + 9^{2} \cdot 3 + 17^{2} \end{aligned}} \\ = \frac{880}{8^{2} \cdot 16} \end{aligned}

= \frac{55}{8^{2}}

となる。

解法２

復習の式Ｂを使うと、

$E (X^{2})$ は
$E (X^{2}) = 1^{2} \cdot \frac{7}{16} + 2^{2} \cdot \frac{5}{16}$
$+ 3^{2} \cdot \frac{3}{16} + 4^{2} \cdot \frac{1}{16}$

途中式

= \frac{7 + 20 + 27 + 16}{16}

= \frac{70}{16}

= \frac{35}{8}

である。

なので、式Ｂは
$V (X) = \frac{35}{8} - {(\frac{15}{8})}^{2}$

途中式

より

V (X) = \frac{35 \cdot 8 - 15^{2}}{8^{2}}

= \frac{5 (7 \cdot 8 - 3 \cdot 15)}{8^{2}}

= \frac{5 \cdot 11}{8^{2}}

= \frac{55}{8^{2}}

となる。

分散の正の平方根が標準偏差なので、標準偏差 $σ (X)$ は、
$σ (X) = \sqrt{\frac{55}{8^{2}}}$
$= \frac{\sqrt{55}}{8}$
である。

ここで、確率変数の変換について復習しておく。

復習

確率変数 $X$ の
平均を $E (X)$ 分散を $V (X)$ 標準偏差を $σ (X)$ とする。

$X$ と定数 $a$ ， $b$ を使って、確率変数 $W$ を
$W = a X + b$
と定める。

このとき、 $W$ の
平均 $E (W) = a E (X) + b$ 分散 $V (W) = a^{2} V (X)$ 標準偏差 $σ (W) = \sqrt{V (W)}$ $= | a | σ (X)$
となる。

クで考えたように、 $Y$ の確率分布は $Z$ と等しかった。
なので、 $Y$ の平均と標準偏差の代わりに、 $Z$ の平均と標準偏差を求める。

$Z = - X + 5$ なので、復習より、

平均 $E (Z)$ は、

$E (Z) = - E (X) + 5$
$= - \frac{15}{8} + 5$
$= \frac{25}{8}$
となる。

よって、 $E (Y)$ も
$E (Y) = \frac{25}{8}$
だ。

解答サ：２, シ：５

標準偏差 $σ (Z)$ は、

$σ (Z) = | - 1 | σ (X)$
$= σ (X)$
となる。

よって、 $σ (Y)$ も
$σ (Y) = σ (X)$
である。

解答ス：３

(3)

(i)

$X_{1} + X_{2}$ を計算すると、表Ｄのようになる。

表の固定

表Ｄ

			$X_{1}$
			$1$	$2$	$3$	$4$
			$\frac{7}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$
$X_{2}$	$1$	$\frac{7}{16}$	$2$	$3$	$4$	$5$
	$2$	$\frac{5}{16}$	$3$	$4$	$5$	$6$
	$3$	$\frac{3}{16}$	$4$	$5$	$6$	$7$
	$4$	$\frac{1}{16}$	$5$	$6$	$7$	$8$

$X_{1} + X_{2}$ が $5$ になるのは、表Ｄの赤い部分。

なので、その確率 $P (\overset{―}{X} = 2.50)$ は
$\begin{aligned} P (\overset{―}{X} = 2.50) = \frac{1}{16} \cdot & \frac{7}{16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{5}{16} \\ + \frac{5}{16} \cdot \frac{3}{16} + \frac{7}{16} \cdot \frac{1}{16} \end{aligned}$
式Ｃ

途中式

\begin{aligned} = 2 \cdot (\frac{1}{16} \cdot \frac{7}{16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{5}{16}) \\ = 2 \cdot \frac{7 + 15}{16 \cdot 16} \\ = \frac{2 \cdot 22}{16 \cdot 16} \\ = \frac{11}{8 \cdot 8} \end{aligned}

= \frac{11}{64}

である。

解答セ：１, ソ：１

$Y_{1} + Y_{2}$ で同様の作業をすると、

表の固定

表Ｅ

			$Y_{1}$
			$1$	$2$	$3$	$4$
			$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{7}{16}$
$Y_{2}$	$1$	$\frac{1}{16}$	$2$	$3$	$4$	$5$
	$2$	$\frac{3}{16}$	$3$	$4$	$5$	$6$
	$3$	$\frac{5}{16}$	$4$	$5$	$6$	$7$
	$4$	$\frac{7}{16}$	$5$	$6$	$7$	$8$

$Y_{1} + Y_{2}$ が $5$ になるのは表Ｅの赤い部分なので、その確率 $P (\overset{―}{Y} = 2.50)$ は
$\begin{aligned} P (\overset{―}{Y} = 2.50) = \frac{1}{16} \cdot & \frac{7}{16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{5}{16} \\ + \frac{5}{16} \cdot \frac{3}{16} + \frac{7}{16} \cdot \frac{1}{16} \end{aligned}$
とかけるけど、この式の右辺は式Ｃと同じだ。

なので、
$P (\overset{―}{Y} = 2.50) = P (\overset{―}{X} = 2.50)$
であることが分かる。

解答タ：１

(ii)

(i)は数学Ａっぽかったけど、ここから数学Ｂだ。
まず最初に思い出さなきゃいけないことは、標本平均と標本標準偏差の次の性質について。

復習

母平均 $μ$ ，母標準偏差 $σ$ の母集団から大きさ $n$ の標本を取り出すとき、標本平均 $\overset{―}{X}$ の
平均 $E (\overset{―}{X}) = m$ 標準偏差 $σ (\overset{―}{X}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ である。

復習より、標本平均 $\overset{―}{X}$ の標準偏差 $σ (\overset{―}{X})$ は
$σ (\overset{―}{X}) = \frac{σ (X)}{\sqrt{n}}$
である。

解答チ：２

さらに、母平均の推定について復習しておく。

復習

母標準偏差を $σ$ ，標本平均を $\overset{―}{X}$ ，標本の大きさを $n$ とすると、母平均 $μ$ の信頼区間を求める式は
$\overset{―}{X} - z \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}} ≦ μ ≦ \overset{―}{X} + z \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}}$ 式Ｄ

ただし、信頼度が $c$ ％のとき、 $z$ は、右図を標準正規分布の確率分布図として、図中の $z_{0}$ の値。
特に、
信頼度 $95$ ％のとき、 $z = 1.96$ 信頼度 $99$ ％のとき、 $z = 2.58$

いま
母標準偏差 $σ = σ (X) = \frac{\sqrt{55}}{8}$ 標本平均 $\overset{―}{X} = 2.95$ 標本の大きさ $n = 100$ 信頼度 $95$ ％なので、 $z = 1.96$ なので、復習の式Ｄより、求める母平均 $m_{X}$ の信頼区間は
$\begin{aligned} 2.95 - 1.96 \cdot & \frac{\frac{\sqrt{55}}{8}}{\sqrt{100}} \\ ≦ m_{X} ≦ 2.95 + 1.96 \cdot \frac{\frac{\sqrt{55}}{8}}{\sqrt{100}} \end{aligned}$
式Ｅ
とかける。

これを計算する。

問題文より
$\sqrt{55} = 7.4$
なので、式Ｅは
$2.95 - 1.96 \cdot \frac{\frac{7.4}{8}}{10} ≦ m_{X} ≦ 2.95 + 1.96 \cdot \frac{\frac{7.4}{8}}{10}$
$2.95 - 0.1813 ≦ m_{X} ≦ 2.95 + 0.1813$
$2.7687 ≦ m_{X} ≦ 3.1313$
これを四捨五入して、
$2.769 ≦ m_{X} ≦ 3.131$ ①
となる。

解答ツ：４, テ：７

アドバイス

これじゃ原理がゼンゼン分からないけど、原理通り解くと時間がかかるから、共通テスト本番では機械的に公式を使おう。
原理に関してはこのページを参照してほしい。

同様に $Y$ の母平均 $m_{Y}$ の信頼区間を考えると、
母標準偏差 $σ = σ (Y)$
だけど、スより
$σ (Y) = σ (X)$
標本平均 $\overset{―}{Y} = 2.95$ 標本の大きさ $n = 100$ 信頼度 $95$ ％なので、 $z = 1.96$ なので、式Ｅと全く同じ式になる。

よって、
$2.769 ≦ m_{Y} ≦ 3.131$ ②
である。

解答ト：４, ナ：７

最後に、問題文中の基準を考える。

ケコより、
$E (X) = \frac{15}{8}$
だけど、
$\frac{15}{8} < 2$
なので
$E (X) < 2$
だから、 $E (X)$ は①の信頼区間に含まれていない

解答ニ：１

サシより、
$E (Y) = \frac{25}{8}$
$= 3.125$
だから、 $E (Y)$ は②の信頼区間に含まれている

解答ヌ：０

ことが分かる。

よって、基準にしたがうと
太郎さんの記憶は正しくないと判断される。

解答ネ：１

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