花子さんが集めたデータの値は$0$と$1$しかないので、値の総和は$1$の数だ。
さらに
$1$は賛成者 $0$は反対者 を意味するから、値の総和は賛成者の人数と等しい。

解答チ：０

また、平均値$\bar{x}$は
$\bar{x}={\displaystyle \frac{\text{賛成者の人数}}{n\text{人}}}$
だから、$n$人中の賛成者の割合に等しい。

解答ツ：３

まず分散の復習をしておこう。

復習

データ$\{x_1,x_2.\cdots ,x_n\}$の分散$s^2$は、
データの平均値を$\bar{x}$ データの各値の２乗の平均値を$\overline{x^2}$ として、
$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\left\{\begin{array}{rl}& {(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2\\ & +\cdots +{(x_n-\bar{x})}^2\end{array}\right\}$ 式Ａ
$\phantom{s^2}=\overline{x^2}-{\left(\bar{x}\right)}^2$式Ｂ
とかける。

このふたつの式は問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。

式Ａより、求める$s^2$は
$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\left\{\begin{array}{rl}& {(x_1-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2+{(x_2-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2\\ & +\cdots +{(x_n-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2\end{array}\right\}$
式Ｃ
とかける。

$x_1$～$x_n$は$0$または$1$なので、式Ｃは
$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\left\{\begin{array}{rl}1& \text{の数}\times {(1-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2\\ & +0\text{の数}\times {(0-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2\end{array}\right\}$
式Ｃ'
となる。

ここで、
$1$の数は賛成者の人数で、$m$ 調査した人数は$n$ なので、$0$の数、つまり反対者の人数は
$n-m$
と表せる。

よって、式Ｃ'はさらに
$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\{m{(1-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2+(n-m){(0-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2\}$
式Ｄ
とかける。

解答テ：１, ト：２

次はナ、つまり$s^2$の値だ。
この問題の場合は、式Ｄを計算するよりも復習の式Ｂを使って$s^2$を求めた方が早い（説明は長いけど、理解すれば計算は10秒だ）。

式Ｂより
$s^2=\overline{x^2}-{\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)}^2$式Ｅ
である。

ところで、データに含まれる値は$0$と$1$しかない。
このとき
$x_n=0$のとき、$x_n^2=0$ $x_n=1$のとき、$x_n^2=1$ だから、
$x_n=x_n^2$
だ。

つまり、花子さんの作ったデータについては、
データの各値は２乗しても変わらない ことになる。

なので、
$$\begin{array}{rl}\overline{x^2}& =\bar{x}\\ & ={\displaystyle \frac{m}{n}}\end{array}$$ だから、式Ｅは
$s^2={\displaystyle \frac{m}{n}}-{\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)}^2$
と表せる。

これを変形して、$s^2$は
$$\begin{array}{rl}{s}^2& ={\displaystyle \frac{m}{n}}(1-{\displaystyle \frac{m}{n}})\\ & ={\displaystyle \frac{m}{n}}({\displaystyle \frac{n}{n}}-{\displaystyle \frac{m}{n}})\\ & ={\displaystyle \frac{m(n-m)}{n^2}}\end{array}$$ であることが分かる。

解答ナ：２