花子さんが集めたデータの値は$0$と$1$しかないので、値の総和は$1$の数だ。
さらに
$1$は賛成者 $0$は反対者 を意味するから、値の総和は賛成者の人数と等しい。

解答ア：０

また、平均値$\overline{x}$は
$\overline{x}=\dfrac{\text{賛成者の人数}}{n\text{人}}$
だから、$n$人中の賛成者の割合に等しい。

解答イ：３

まず分散の復習をしておこう。

式Ａより、求める$s^{2}$は
$s^{2}=\dfrac{\left(x_{1}-\dfrac{m}{n}\right)^{2}+\left(x_{2}-\dfrac{m}{n}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\dfrac{m}{n}\right)^{2}}{n}$
$\phantom{ s^{2}} =\dfrac{1}{n}\biggl\{\left(x_{1}-\dfrac{m}{n}\right)^{2}+\left(x_{2}-\dfrac{m}{n}\right)^{2}+$
$\hspace{120px} \cdots+\left(x_{n}-\dfrac{m}{n}\right)^{2}\biggr\}$式Ｃ
とかける。

$x_{1}$～$x_{n}$は$0$または$1$なので、式Ｃは
$s^{2}=\dfrac{1}{n}\left\{1\text{の数}\times\left(1-\dfrac{m}{n}\right)^{2}+0\text{の数}\times\left(0-\dfrac{m}{n}\right)^{2}\right\}$
式Ｃ'
となる。

ここで、
$1$の数は賛成者の人数で、$m$ 調査した人数は$n$ なので、$0$の数、つまり反対者の人数は
$n-m$
と表せる。

よって、式Ｃ'はさらに
$s^{2}=\dfrac{1}{n}\left\{m\left(1-\dfrac{m}{n}\right)^{2}+(n-m)\left(0-\dfrac{m}{n}\right)^{2}\right\}$
式Ｄ
とかける。

解答ウ：１, エ：２

次はオ、つまり$s^{2}$の値だ。
この問題の場合は、式Ｄを計算するよりも復習の式Ｂを使って$s^[2]$を求めた方が早い（説明は長いけど、理解すれば計算は10秒だ）。

式Ｂより
$s^{2}=\overline{x^{2}}-\left(\dfrac{m}{n}\right)^{2}$式Ｅ
である。

ところで、データに含まれる値は$0$と$1$しかない。
このとき
$x_{n}=0$のとき、$x_{n}^{2}=0$ $x_{n}=1$のとき、$x_{n}^{2}=1$ だから、
$x_{n}=x_{n}^{2}$
だ。

つまり、花子さんの作ったデータについては、
データの各値は２乗しても変わらない ことになる。

なので、
$$ \begin{align} \overline{x^{2}}&=\overline{x}\\ &=\dfrac{m}{n} \end{align} $$ だから、式Ｅは
$s^{2}=\dfrac{m}{n}-\left(\dfrac{m}{n}\right)^{2}$
と表せる。

これを変形して、$s^{2}$は
$$ \begin{align} s^{2}&=\dfrac{m}{n}\left(1-\dfrac{m}{n}\right)\\ &=\dfrac{m}{n}\left(\dfrac{n}{n}-\dfrac{m}{n}\right)\\ &=\dfrac{m(n-m)}{n^{2}} \end{align} $$ であることが分かる。

解答オ：２

最後に、オで求めた
$s^{2}=\dfrac{m(n-m)}{n^{2}}$
が最小になるときと最大になるときの$m$を考える。

$n=25$とすると、$s^{2}$は
$s^{2}=\dfrac{m(25-m)}{25^{2}}$
$\phantom{ s^{2}} =-\dfrac{1}{25}m(m-25)$
とかける。

この式は、
$m^{2}$の係数が負 $m=0,\ 25$ のとき $s^{2}=0$ なので、グラフは図Ａのような放物線になる。

図の固定

$m$は人数なので整数である。
また、調べた人数$n$が$25$なので、$m$の範囲（定義域）は
$0\leqq m\leqq 25$
だから、図Ａの緑の範囲だ（両端を含む）。

図Ａより、

であることが分かる。