まず、${\log }_{10}285$，${\log }_{10}368$の値をそれぞれ求める。

さらに、点$(x,{\log }_{10}N)$が座標平面上の直線
$y=k(x-22)+p_1$①
上にあるときを考える。

$(x,{\log }_{10}N)$を①式に代入すると
${\log }_{10}N=k(x-22)+p_1$式Ａ
と表せる。

$x$と$N$の関係式が出来たけど、これは解答群にない。
なので、ちょっと変形しないといけない。

ここで、指数と対数の関係を復習しておくと、

復習

$0<a$，$a\ne 1$，$0<b$ のとき、
${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$

だった。

復習より、式Ａは
$N={10}^{k(x-22)+p_1}$式Ｂ
となって、解答群にある形になった。

解答ヘ：２

別解

式Ａを変形するには、次のような方法もある。

${\log }_{10}10=1$
だから、式Ａの右辺に${\log }_{10}10$をかけても等式は成り立つ。

よって
$$\begin{array}{rl}{\log }_{10}N& =\{k(x-22)+p_1\}{\log }_{10}10\\ & ={\log }_{10}{10}^{k(x-22)+p_1}\end{array}$$ とかけるから、
$N={10}^{k(x-22)+p_1}$式Ｂ
である。

解答ヘ：２

次は、$x=32$のときの、関係式ヘ、つまり式Ｂを満たす$N$の範囲だ。

式Ｂに含まれる文字のうち、$k$の値がまだ分かってない。
なので、$k$を求めることからはじめよう。

問題文より
$k={\displaystyle \frac{p_2-p_1}{25-22}}$
だった。

これに$p_1$，$p_2$の値を代入すると、$k$の値は
$$\begin{array}{rl}k& ={\displaystyle \frac{2.566-2.455}{25-22}}\\ & ={\displaystyle \frac{0.111}{3}}\end{array}$$ である。

これと$p_1$の値と$x=32$を式Ｂに代入すると

途中式

$$\begin{array}{rl}N& ={10}^{\frac{0.111}{3}\cdot (32-22)+2.455}\\ & ={10}^{\frac{1.11}{3}+2.455}\\ & ={10}^{0.37+2.455}\end{array}$$ より

$N={10}^{2.825}$
となる。

この
$N={10}^{2.825}$
の値が含まれる範囲を問われているわけだ。

これはさらに
$$\begin{array}{rl}N& ={10}^{2+0.825}\\ & ={10}^{0.825}\times {10}^2\end{array}$$ $\phantom{N}={10}^{0.825}\times 100$式Ｃ
とかけるから、
${10}^{0.825}$
の値を求めれば、答えが分かる。

ここで、
${10}^{0.825}=A$
とおくと、復習から
${\log }_{10}A=0.825$
と表せる。

ここで、常用対数表を見ると
${\log }_{10}6.67=0.8241$（四捨五入して$0.824$）
${\log }_{10}6.68=0.8248$（四捨五入して$0.825$）
${\log }_{10}6.69=0.8254$（四捨五入して$0.825$）
${\log }_{10}6.70=0.8261$（四捨五入して$0.826$） となっているので、
${\log }_{10}6.67<{\log }_{10}A<{\log }_{10}6.70$
であることが分かる。

底の$10$は$1$より大きいので、これはさらに
$6.67<A<6.70$
となり、$A$をもとにもどすと
$6.67<{10}^{0.825}<6.70$式Ｄ
と変形できる。

これを式Ｃの形にする。

式Ｄの３辺を$100$倍すると
$667<{10}^{0.825}\times 100<670$
なので、式Ｃを代入すると、求める$N$の範囲は
$667<N<670$
であることが分かる。

これにあてはまるのは、解答群の
５
である。

解答ホ：５