大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 追試 数学Ⅱ 第４問 解説
(1)
$y=\sin 3x+\cos 3x$ のグラフについて考える。
$\sin 3x+\cos 3x$で三角関数の合成をすると、図Ａより、
$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
とかける。
解答ア：２, イ：４
ここで、グラフの移動や拡大・縮小について復習しておこう。
復習
$y=f(x)$のグラフの式の
平行移動
$x$に$x-p$を代入
→グラフは$x$軸方向に$p$平行移動
$y$に$y-q$を代入
→グラフは$y$軸方向に$q$平行移動
対称移動
$x$に$-x$を代入
→グラフは$y$軸に関して対称移動
$y$に$-y$を代入
→グラフは$x$軸に関して対称移動
拡大
$x$に$\dfrac{x}{a}$を代入
→グラフは$y$軸を中心として
$x$軸方向に$a$倍に拡大
$y$に$\dfrac{y}{b}$を代入
→グラフは$x$軸を中心として
$y$軸方向に$b$倍に拡大
縮小
$x$に$ax$を代入
→グラフは$y$軸を中心として
$x$軸方向に$\dfrac{1}{a}$に縮小
$y$に$by$を代入
→グラフは$x$軸を中心として
$y$軸方向に$\dfrac{1}{b}$に縮小
復習の「拡大」と「縮小」は同じことを言いかえているだけなので、片方憶えておけば大丈夫。
アイより、
$y=\sin 3x+\cos 3x$式Ａ
のグラフの代わりに
$y=\sqrt{2}\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)$式Ｂ
を変形した
$\dfrac{y}{\sqrt{2}}=\sin 3\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)$式Ｂ'
のグラフを考える。
式Ｂ'は、$y=\sin x$ を材料にして、
$\hspace{24px}y=\sin \colorbox{#8FC31F}{$x$}$
$\hspace{72px}$↓ $x$に$3x$を代入（Step１）
$\hspace{10px}\colorbox{#F39800}{$y$}=\sin \colorbox{#8FC31F}{$3x$}$
$\hspace{6px}$↓ $y$に$\cfrac{y}{\sqrt{2}}$を代入（Step２）
$\colorbox{#F39800}{$\dfrac{y}{\sqrt{2}}$}=\sin 3\colorbox{#E60012}{$x$}$
$\hspace{86px}$↓ $x$に$x+\cfrac{\pi}{12}$を代入（Step３）
$\dfrac{y}{\sqrt{2}}=\sin 3\colorbox{#E60012}{$\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)$}$
という作業をした結果と考える。
これを図Ｂのグラフで表すと、復習より、
Step１
$y=\sin x$のグラフ（図Ｂのグレーの破線）を$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$に縮小して 緑のグラフにする
Step２
緑のグラフを$y$軸方向に$\sqrt{2}$倍に拡大してオレンジのグラフにする
Step３
オレンジのグラフを$x$軸方向に$-\dfrac{\pi}{12}$平行移動して求めるグラフ（赤いグラフ）にする
作業だといえる。
図Ｂより、正しいグラフは、選択肢の
④
であることが分かる。
解答ウ：４
別解
上の解説ではグラフをちゃんと描いたけど、選択肢の中から正しいグラフを探すだけなら、次のような方法がはやい。
求めるグラフは、
式Ａに$x=0$を代入すると
$y=\sin 0+\cos 0$
$\phantom{ y } =1$
なので、
$y$軸と$y=1$（図Ｃの赤丸の点）で交わる
式Ａに$x=\dfrac{\pi}{2}$を代入すると
$ y=\sin\dfrac{3}{2}\pi+\cos\dfrac{3}{2}\pi$
$\phantom{ y } =-1$
なので、
$\left(\dfrac{\pi}{2},\ -1\right)$ （図Ｃの紫の丸の点）を通る
式Ｂのグラフは$y=\sin 3x$のグラフがもとになっているので、
周期が $y=\sin x$ のグラフの$\dfrac{1}{3}$
である。
このうちのどれか２つを考えれば、あてはまるのは選択肢のグラフの
④
しかないことが分かる。
解答ウ：４
(2)
(i)
２倍角の公式より、
$y=2\sin x+\cos 2x$
は
$y=2\sin x+(1-2\sin^{2}x)$
$\phantom{ y } =-2\sin^{2}x+2\sin x+1$式Ｃ
と変形できる。
解答エ：－, オ：２, カ：２
$ 0\leqq x \lt 2\pi$
の範囲で
$t=\sin x$式Ｄ
とおく。
このとき、
$t$の範囲は
$-1\leqq t\leqq 1$
式Ｃは
$y=-2t^{2}+2t+1$式Ｃ'
となる。
式Ｃ'のグラフは上に凸の放物線で、軸（頂点の$t$座標）は、
復習
放物線
$y=ax^{2}+bx+c$
の軸（頂点の$x$座標）は
$x=\dfrac{-b}{2a}$
より
$t=\dfrac{-2}{2\cdot(-2)}$
$\phantom{ t} =\dfrac{1}{2}$
だ。
以上より、式Ｃ'のグラフを描くと、図Ｄのようになる。
$t$の定義域は図Ｄの緑の範囲（境界線を含む）なので、
$y$の
最大値は$t=\dfrac{1}{2}$のとき（図Ｄの赤丸の点）。
このときの$x$は、式Ｄより
$\sin x=\dfrac{1}{2}$
だけど、
$0\leqq x \lt 2\pi$
なので、
$x=\dfrac{\pi}{6}$，$\dfrac{5}{6}\pi$
解答キ：６, ク：５, ケ：６
最大値は、式Ｃ'に$t=\dfrac{1}{2}$を代入して、
$$
\begin{align}
-2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+2\cdot\dfrac{1}{2}+1&=-\dfrac{1}{2}+1+1\\
&=\dfrac{3}{2}
\end{align}
$$
解答コ：３, サ：２
である。
最小値は、$t=-1$のとき（図Ｄの紫の丸の点）。
このときの$x$は、式Ｄより
$\sin x=-1$
だけど、
$0\leqq x \lt 2\pi$
なので、
$ x=\dfrac{3}{2}\pi$
解答シ：３, ス：２
最小値は、式Ｃ'に$t=-1$を代入して、
$$
\begin{align}
-2\cdot(-1)^{2}+2\cdot(-1)+1&=-2-2+1\\
&=-3
\end{align}
$$
解答セ：－, ソ：３
である。
(ii)
(i)の結果から、このグラフは $ 0\leqq x \lt 2\pi$の間で
$x=\dfrac{\pi}{6}$，$\dfrac{5}{6}\pi$ のとき最大値$\dfrac{3}{2}$
（図Ｅの赤丸の点）
$ x=\dfrac{3}{2}\pi$ のとき最小値$-3$
（図Ｅの紫の丸の点）
をとる。
これにあてはまるのは、選択肢のグラフのうちの
④
しかない。
解答タ：４