$y=\sin 3x+\cos 3x$ のグラフについて考える。

図の固定

$\sin 3x+\cos 3x$で三角関数の合成をすると、図Ａより、
$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
とかける。

解答ア：２, イ：４

ここで、グラフの移動や拡大・縮小について復習しておこう。

アイより、
$y=\sin 3x+\cos 3x$式Ａ
のグラフの代わりに
$y=\sqrt{2}\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$式Ｂ
を変形した
${\displaystyle \frac{y}{\sqrt{2}}}=\sin 3(x+{\displaystyle \frac{\pi }{12}})$式Ｂ'
のグラフを考える。

式Ｂ'は、$y=\sin x$ を材料にして、

という作業をした結果と考える。

これを図Ｂのグラフで表すと、復習より、
Step１ $y=\sin x$のグラフ（図Ｂのグレーの破線）を$x$軸方向に${\displaystyle \frac{1}{3}}$に縮小して 緑のグラフにする Step２ 緑のグラフを$y$軸方向に$\sqrt{2}$倍に拡大してオレンジのグラフにする Step３ オレンジのグラフを$x$軸方向に$-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$平行移動して求めるグラフ（赤いグラフ）にする 作業だといえる。

図の固定

図Ｂより、正しいグラフは、選択肢の
④ であることが分かる。

解答ウ：４

２倍角の公式より、
$y=2\sin x+\cos 2x$
は
$y=2\sin x+(1-2{\sin }^{2}x)$
$\phantom{y}=-2{\sin }^{2}x+2\sin x+1$式Ｃ
と変形できる。

解答エ：－, オ：２, カ：２

$0\leqq x<2\pi$
の範囲で
$t=\sin x$式Ｄ
とおく。

このとき、
$t$の範囲は
$-1\leqq t\leqq 1$ 式Ｃは
$y=-2t^2+2t+1$式Ｃ' となる。

式Ｃ'のグラフは上に凸の放物線で、軸（頂点の$t$座標）は、

より
$t={\displaystyle \frac{-2}{2\cdot (-2)}}$
$\phantom{t}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
だ。

以上より、式Ｃ'のグラフを描くと、図Ｄのようになる。

図の固定

$t$の定義域は図Ｄの緑の範囲（境界線を含む）なので、
$y$の

(i)の結果から、このグラフは $0\leqq x<2\pi$の間で
$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，${\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$ のとき最大値${\displaystyle \frac{3}{2}}$
（図Ｅの赤丸の点） $x={\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$ のとき最小値$-3$
（図Ｅの紫の丸の点） をとる。

図の固定

これにあてはまるのは、選択肢のグラフのうちの
④ しかない。

解答タ：４