まず、相関係数と散布図の復習から。

問題文中の図２を見ると、データ$Z^{\prime }$の分布は全然直線的じゃない。

なので、相関係数は、選択肢のうちの
② $0.0$ だと考えられる。

解答ク：２

$W^{\prime }$の

$x$の平均値$\bar{x}$は
$\bar{x}={\displaystyle \frac{5a}{5}}$
$=a$

$y$の平均値$\bar{y}$も
$\bar{y}={\displaystyle \frac{5a}{5}}$
$=a$

である。

解答ケ：３

ここで、分散，標準偏差，共分散，相関係数の復習をしておこう。

分散の復習

大きさ$n$のデータ$\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$があり、
データの平均値を$\bar{x}$ データの各値の２乗の平均値を$\overline{x^2}$ とするとき、分散$s^2$は
$$\begin{array}{rl}{s}^2& ={\displaystyle \frac{1}{n}}\left\{\begin{array}{rl}(x_1-\bar{x}{)}^2+& (x_2-\bar{x}{)}^2+\\ & \cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\end{array}\right\}\\ & =\overline{x^2}-{\left(\bar{x}\right)}^2\end{array}$$ とかける。

このふたつの式は問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。

標準偏差の復習

標準偏差は、分散の正の平方根なので、
分散を$s^2$とすると、標準偏差$s$は
$s=\sqrt{s^2}$
である。

共分散の復習

データ$\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$と$\{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}$があり、
それぞれの平均値を$\bar{x}$，$\bar{y}$ とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の共分散$s_{xy}$は
$$\begin{array}{r}{s}_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}}\left\{\begin{array}{rl}& (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})\\ & +(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\\ & \cdots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})\end{array}\right\}\end{array}$$ である。

相関係数の復習

データ$\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$と$\{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}$があり、
それぞれの標準偏差を$s_x$，$s_y$ $\{x\}$と$\{y\}$の共分散を$s_{xy}$ とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}}$
である。

復習が終わったところで、問題を解こう。

表１の計算表の空欄は簡単に埋められるから、ぱぱっと表１を完成させてしまおう。
すると、表Ａができる。

復習より、$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は 表Ａの黄色い部分の平均値なので、

$s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{5}}\{(a^2\cancel{+2a}\cancel{+1})+2(a^2\cancel{-1})$
$+(a^2\cancel{-2a}\cancel{+1})+(16a^2)\}$
$$\begin{array}{rl}\phantom{s_{xy}}& ={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot 20a^2\\ & =4a^2\end{array}$$

である。

解答コ：０

また、復習より、表Ａの青い部分の値を２乗して平均すると$x$の分散が求められる。
$x$の分散の正の平方根が $x$の標準偏差$s_x$だ。
式で表すと
$s_x=\sqrt{x\text{の分散}}$
である。

同様に、表Ａの緑の部分の値を２乗して平均すると$y$の分散になり、その正の平方根が$y$の標準偏差$s_y$だから、
$s_y=\sqrt{y\text{の分散}}$
となる。

なので、ここで問われている
$s_x{s}_y=\sqrt{x\text{の分散}}\times \sqrt{y\text{の分散}}$式Ａ
とかける。

ここで表Ａを見ると、青い部分と緑の部分は同じ値の順番が変わっているだけだ。
なので
$x$の分散$=y$の分散
といえる。

よって、式Ａは
$s_x{s}_y=\sqrt{x\text{の分散}}\times \sqrt{x\text{の分散}}$
$=x\text{の分散}$
となるから、$x$の分散を求めれば、それがサだ。

あとは、計算。

$x$の分散$={\displaystyle \frac{1}{5}}\{(-1-a{)}^2+(-1-a{)}^2$
$+(1-a{)}^2+(1-a{)}^2+(4a{)}^2\}$

これを計算すると

途中式

$$\begin{array}{rl}x\text{の分散}& ={\displaystyle \frac{1}{5}}\{2(-1-a{)}^2+2(1-a{)}^2+(4a{)}^2\}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{5}}\{4(1+a^2)+(4a{)}^2\}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{5}}(1+a^2+4a^2)\\ & ={\displaystyle \frac{4}{5}}(1+5a^2)\end{array}$$ より

$x$の分散$=4a^2+{\displaystyle \frac{4}{5}}$
であることが分かる。

よって、求める$s_x{s}_y$も
$s_x{s}_y=4a^2+{\displaystyle \frac{4}{5}}$
となる。

解答サ：２

さらに、復習より、相関係数を$r_{xy}$とすると、
$r_{xy}={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}}$
なので、これにコサを代入して
$r_{xy}={\displaystyle \frac{4a^2}{4a^2+\frac{4}{5}}}$
と表せる。

これが$0.95$以上になるから、
${\displaystyle \frac{4a^2}{4a^2+\frac{4}{5}}}\geqq 0.95$
より
$4a^2\geqq 0.95(4a^2+{\displaystyle \frac{4}{5}})$
とかける。

これを計算すると

途中式

両辺を$4$で割って$100$倍して、
$100a^2\geqq 95(a^2+{\displaystyle \frac{1}{5}})$
$100a^2-95a^2\geqq 95\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}$
$5a^2\geqq {\displaystyle \frac{95}{5}}$

$a^2\geqq {\displaystyle \frac{95}{5^2}}$
なので、求める$a$の範囲は
$a\leqq -{\displaystyle \frac{\sqrt{95}}{5}}$，${\displaystyle \frac{\sqrt{95}}{5}}\leqq a$
である。

解答シ：３