最初は、計算から。

である。

ここで、$\ell$，$m$，$n$を定数として
$f(x)=\ell x^2+mx+n$
とおくと、
${\displaystyle {\int }_t^{t+1}f(x)dx=\ell {\int }_t^{t+1}{x}^{2}dx}$
${\displaystyle +m{\int }_t^{t+1}xdx+n{\int }_t^{t+1}1dx}$
とかけるから、
${\displaystyle {\int }_t^{t+1}f(x)dx=\ell \times }$式Ｃ$+m\times$式Ｂ$+n\times$式Ａ
である。

したがって、
${\displaystyle {\int }_t^{t+1}f(x)dx=\ell (t^2+t+{\displaystyle \frac{1}{3}})}$
$+m(t+{\displaystyle \frac{1}{2}})+n\cdot 1$
$=\ell t^2+(\ell +m)t+({\displaystyle \frac{\ell }{3}}+{\displaystyle \frac{m}{2}}+n)$
式Ｄ
と計算できる。

また、問題文より
${\displaystyle {\int }_t^{t+1}f(x)dx=t^2}$
だから、
式Ｄ$=t^2$
だ。

なので、
$\ell =1$ $\ell +m=0$ ${\displaystyle \frac{\ell }{3}}+{\displaystyle \frac{m}{2}}+n=0$ といえる。

解答ニ：１

これを計算すると、

となる。

${\displaystyle {\int }_t^{t+1}f(x)dx=t^2}$
なので、

$t=1$のとき
${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx=1^2}$

$t=2$のとき
${\displaystyle {\int }_2^{3}f(x)dx=2^2}$

$⋮$

$t=10$のとき
${\displaystyle {\int }_{10}^{11}f(x)dx={10}^2}$

とかける。

以上の式を辺々たすと、
$$\begin{array}{rl}{1}^2+& 2^2+\cdots +{10}^2\\ & ={\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx\\ & +\cdots +{\int }_{10}^{11}f(x)dx\end{array}$$ 式Ｅ
と表せる。

ここで、

復習

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx+{\int }_{\beta }^{\gamma }f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\gamma }f(x)dx}$

なので、
${\displaystyle 1^2+2^2+\cdots +{10}^2={\int }_1^{11}f(x)dx}$
が成り立つ。

解答ヒ：１, フ：１