まず、漸化式
$\{\begin{array}{l}{a}_1=23\\ a_{n+1}=a_n-3\end{array}$式Ａ
で表された数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

漸化式の基本の形の復習をしておくと、

復習

$p_{n+1}=p_n+d$
$\{p_n\}$は公差$d$の等差数列 $p_{n+1}=r{p}_n$
$\{p_n\}$は公比$r$の等比数列 $p_{n+1}=p_n+f(n)$
$\{p_n\}$の階差数列の一般項が$f(n)$ $p_{n+1}=\alpha p_n+\beta$
$(p_{n+1}-\gamma )=\alpha (p_n-\gamma )$の形にして解く

だった。

式Ａの漸化式は復習の１番目の形で、
$\{\begin{array}{l}\text{初項が}23\\ \text{公差が}-3\end{array}$
の等差数列だ。

なので、$\{a_n\}$の一般項$a_n$は
$a_n=23+(n-1)(-3)$
より
$a_n=-3n+26$式Ｂ
となる。

解答ア：－, イ：３, ウ：２, エ：６

$a_n$が負になる$n$は、式Ｂより
$-3n+26<0$
とかける。

これを解くと
$3n>26$
$n>{\displaystyle \frac{26}{3}}$
だけど、$n$は自然数なので
$n\geqq 9$
だ。

よって、$a_n<0$である最小の自然数$n$は
$n=9$
であることが分かる。

解答オ：９

また、式Ａより、すべての自然数$n$について
$a_{n+1}<a_n$式Ｃ
が成り立つ。

したがって、$\{a_n\}$はつねに減少する。

解答カ：１

ここで、$S_n$を
${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k}$
とおく。
つまり、$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。

オカより、$\{a_n\}$は
つねに減少し、$n=9$のときに初めて負になる ことが分かっている。
表にすると、表Ａのような状態だ。

和は、値が正の項をたすと増加し、負の項をたすと減少する。
したがって、表Ａより、$\{a_n\}$の和$S_n$は
$n=8$まで増加 $n=9$から減少 する。
つまり、増加することも減少することもある。

解答キ：２

また、$\{a_n\}$は
$n\geqq 9$のとき、$a_n<0$ である。

解答ク：０

さらに、$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$として、$n\geqq 9$の範囲での$\{b_n\}$の増減を考える。

クより、この範囲では $a_n<0$ だから、
$a_{n+1}\cdot a_n>0$ である。

なので、式Ｃの両辺を $a_{n+1}\cdot a_n$ で割っても、不等号の向きは変わらない。

よって、
${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}\cdot a_n}}<{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}\cdot a_n}}$
より
${\displaystyle \frac{1}{a_n}}<{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}$
となるから、
$b_n<b_{n+1}$
であることが分かる。

以上より、$n\geqq 9$の範囲で、
$b_n$はつねに増加する といえる。

解答ケ：０

今度は
$c_1=30$，$c_{n+1}={\displaystyle \frac{50c_n-800}{c_n-10}}$
を考える。

$d_n={\displaystyle \frac{1}{c_n-20}}$式Ｄ
とおくと、

となる。

①式を$\{c_n\}$の漸化式に代入すると
${\displaystyle \frac{1}{d_{n+1}}}+20=\frac{50(\frac{1}{d_n}+20)-800}{(\frac{1}{d_n}+20)-10}$
より
${\displaystyle \frac{1}{d_{n+1}}}=\frac{50\cdot \frac{1}{d_n}+1000-800}{\frac{1}{d_n}+20-10}-20$
$\phantom{{\displaystyle \frac{1}{d_{n+1}}}}=\frac{50\cdot \frac{1}{d_n}+200}{\frac{1}{d_n}+10}-20$
と表せる。

これを変形する。

$d_n\ne 0$なので、右辺の分母分子に$d_n$をかけて、
${\displaystyle \frac{1}{d_{n+1}}}={\displaystyle \frac{50+200d_n}{1+10d_n}}-20$

右辺を通分して
${\displaystyle \frac{1}{d_{n+1}}}={\displaystyle \frac{50+200d_n}{1+10d_n}}-{\displaystyle \frac{20(1+10d_n)}{1+10d_n}}$
$\phantom{{\displaystyle \frac{1}{d_{n+1}}}}={\displaystyle \frac{50+200d_n-20-200d_n}{1+10d_n}}$
$\phantom{{\displaystyle \frac{1}{d_{n+1}}}}={\displaystyle \frac{30}{1+10d_n}}$

この式の両辺の逆数をとると
${\displaystyle \frac{d_{n+1}}{1}}={\displaystyle \frac{1+10d_n}{30}}$
より
$d_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{30}}$式Ｅ
とかける。

解答セ：３, ソ：３, タ：０

式Ｅは、復習の漸化式の基本の形の４つめだ。
なので、お約束の解き方で解いてしまおう。

式Ｅを
$d={\displaystyle \frac{1}{3}}d+{\displaystyle \frac{1}{30}}$
と書きかえて、$d$について解くと、

途中式

両辺を$30$倍して、
$30d=10d+1$
$20d=1$

$d={\displaystyle \frac{1}{20}}$
となる。

この${\displaystyle \frac{1}{20}}$を使って、式Ｅは
$d_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(d_n-{\displaystyle \frac{1}{20}})$式Ｅ'
と変形できる。

ここで、
$e_n=d_n-{\displaystyle \frac{1}{20}}$式Ｆ
とおくと、

コサより
$e_1={\displaystyle \frac{1}{10}}-{\displaystyle \frac{1}{20}}$
$\phantom{e_1}={\displaystyle \frac{1}{20}}$

式Ｅ'は$e_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{e}_n$となるので、復習から、
$\{e_n\}$は公比が${\displaystyle \frac{1}{3}}$の等比数列

である。

よって、$\{e_n\}$の一般項$e_n$は
$e_n={\displaystyle \frac{1}{20}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}$
とかける。

これを式Ｆに代入して、
$d_n-{\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{1}{20}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}$
より
$d_n={\displaystyle \frac{1}{20}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{20}}$式Ｇ
となる。

解答チ：２, ツ：０, テ：３, ト：２, ナ：０

式Ｇの赤い部分を考えると、

ことが分かる。

最後は$\{c_n\}$だけど、
$c_n={\displaystyle \frac{1}{d_n}}+20$①
だった。

この式の赤い部分を考えると、ニヌより、

といえる。

したがって、${\displaystyle \frac{1}{d_n}}$に$20$をたした$c_n$は
$40>c_n$で、つねに増加する ことが分かる。

これにあてはまるのは、選択肢のうち
④
しかない。

解答ネ：４