大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 追試 数学ⅡB 第4問 解説
(1)
まず、漸化式
$\left\{\begin{array}{l}
a_{1}=23\\
a_{n+1}=a_{n}-3
\end{array}\right.$式A
で表された数列$\{a_{n}\}$の一般項を求める。
漸化式の基本の形の復習をしておくと、
復習
$p_{n+1}=p_{n}+d$
$\{p_{n}\}$は公差$d$の等差数列
$p_{n+1}=rp_{n}$
$\{p_{n}\}$は公比$r$の等比数列
$p_{n+1}=p_{n}+f(n)$
$\{p_{n}\}$の階差数列の一般項が$f(n)$
$ p_{n+1}=\alpha p_{n}+\beta$
$(p_{n+1}-\gamma)=\alpha(p_{n}-\gamma)$の形にして解く
だった。
式Aの漸化式は復習の1番目の形で、
$\left\{\begin{array}{l}
\text{初項が}23\\
\text{公差が}-3
\end{array}\right.$
の等差数列だ。
なので、$\{a_{n}\}$の一般項$a_{n}$は
$a_{n}=23+(n-1)(-3)$
より
$a_{n}=-3n+26$式B
となる。
解答ア:-, イ:3, ウ:2, エ:6
$a_{n}$が負になる$n$は、式Bより
$-3n+26 \lt 0$
とかける。
これを解くと
$3n \gt 26$
$n \gt \dfrac{26}{3}$
だけど、$n$は自然数なので
$n \geqq 9$
だ。
よって、$a_{n} \lt 0$である最小の自然数$n$は
$n=9$
であることが分かる。
解答オ:9
また、式Aより、すべての自然数$n$について
$a_{n+1} \lt a_{n}$式C
が成り立つ。
したがって、$\{a_{n}\}$はつねに減少する。
解答カ:1
ここで、$S_{n}$を
$\displaystyle S_{n}= \sum_{k=1}^{n}a_{k}$
とおく。
つまり、$\{a_{n}\}$の初項から第$n$項までの和を$S_{n}$とする。
オカより、$\{a_{n}\}$は
つねに減少し、$n=9$のときに初めて負になる
ことが分かっている。
表にすると、表Aのような状態だ。
$n$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ | $8$ | $9$ | $10$ | $\cdots$ | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$a_{n}$ | 正 | 正 | $\cdots$ | 正 | 負 | 負 | $\cdots$ | ||||||||
$\searrow$ | $\searrow$ | $\cdots$ | $\searrow$ | $\searrow$ | $\searrow$ | $\searrow$ | $\cdots$ |
和は、値が正の項をたすと増加し、負の項をたすと減少する。
したがって、表Aより、$\{a_{n}\}$の和$S_{n}$は
$n=8$まで増加
$n=9$から減少
する。
つまり、増加することも減少することもある。
解答キ:2
また、$\{a_{n}\}$は
$n\geqq 9$のとき、$a_{n} \lt 0$
である。
解答ク:0
さらに、$b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$として、$n\geqq 9$の範囲での$\{b_{n}\}$の増減を考える。
クより、この範囲では
$a_{n} \lt 0$
だから、
$a_{n+1}\cdot a_{n} \gt 0$
である。
なので、式Cの両辺を $a_{n+1}\cdot a_{n}$ で割っても、不等号の向きは変わらない。
よって、
$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+1}\cdot a_{n}} \lt \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}\cdot a_{n}}$
より
$\dfrac{1}{a_{n}} \lt \dfrac{1}{a_{n+1}}$
となるから、
$b_{n} \lt b_{n+1}$
であることが分かる。
以上より、$n\geqq 9$の範囲で、
$b_{n}$はつねに増加する
といえる。
解答ケ:0
(2)
今度は
$c_{1}=30$,$c_{n+1}=\dfrac{50c_{n}-800}{c_{n}-10}$
を考える。
$d_{n}=\dfrac{1}{c_{n}-20}$式D
とおくと、
$d_{1}=\dfrac{1}{c_{1}-20}$
$\phantom{ d_{1} } =\dfrac{1}{10}$
解答コ:1, サ:0
式Dを変形すると、$d_{n}\neq 0$なので、
$c_{n}-20=\dfrac{1}{d_{n}}$
より
$c_{n}=\dfrac{1}{d_{n}}+20$①
解答シ:2, ス:0
となる。
①式を$\{c_{n}\}$の漸化式に代入すると
$\dfrac{1}{d_{n+1}}+20=\cfrac{50\left(\cfrac{1}{d_{n}}+20\right)-800}{\left(\cfrac{1}{d_{n}}+20\right)-10}$
より
$\dfrac{1}{d_{n+1}}=\cfrac{50\cdot\cfrac{1}{d_{n}}+1000-800}{\cfrac{1}{d_{n}}+20-10}-20$
$\phantom{ \dfrac{1}{d_{n+1}} } =\cfrac{50\cdot\cfrac{1}{d_{n}}+200}{\cfrac{1}{d_{n}}+10}-20$
と表せる。
これを変形する。
$d_{n}\neq 0$なので、右辺の分母分子に$d_{n}$をかけて、
$\dfrac{1}{d_{n+1}}=\dfrac{50+200d_{n}}{1+10d_{n}}-20$
右辺を通分して
$\dfrac{1}{d_{n+1}}=\dfrac{50+200d_{n}}{1+10d_{n}}-\dfrac{20(1+10d_{n})}{1+10d_{n}}$
$\phantom{ \dfrac{1}{d_{n+1}} } =\dfrac{50+200d_{n}-20-200d_{n}}{1+10d_{n}}$
$\phantom{ \dfrac{1}{d_{n+1}} } =\dfrac{30}{1+10d_{n}}$
この式の両辺の逆数をとると
$\dfrac{d_{n+1}}{1}=\dfrac{1+10d_{n}}{30}$
より
$d_{n+1}=\dfrac{1}{3}d_{n}+\dfrac{1}{30}$式E
とかける。
解答セ:3, ソ:3, タ:0
式Eは、復習の漸化式の基本の形の4つめだ。
なので、お約束の解き方で解いてしまおう。
式Eを
$d=\dfrac{1}{3}d+\dfrac{1}{30}$
と書きかえて、$d$について解くと、
途中式
両辺を$30$倍して、
$30d=10d+1$
$20d=1$
となる。
この$\textcolor{red}{\dfrac{1}{20}}$を使って、式Eは
$d_{n+1}- \textcolor{red}{ \dfrac{1}{20} }=\dfrac{1}{3}\left(d_{n}-\textcolor{red}{ \dfrac{1}{20} }\right)$式E'
と変形できる。
ここで、
$e_{n}=d_{n}- \dfrac{1}{20}$式F
とおくと、
コサより
$e_{1}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{20}$
$\phantom{ e_{1} } =\dfrac{1}{20}$
式E'は$e_{n+1}= \dfrac{1}{3}e_{n}$となるので、復習から、
$\{e_{n}\}$は公比が$ \dfrac{1}{3}$の等比数列
である。
よって、$\{e_{n}\}$の一般項$e_{n}$は
$e_{n}= \dfrac{1}{20}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$
とかける。
これを式Fに代入して、
$d_{n}- \dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{20}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$
より
$d_{n}=\textcolor{red}{ \dfrac{1}{20}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} }+ \dfrac{1}{20}$式G
となる。
解答チ:2, ツ:0, テ:3, ト:2, ナ:0
式Gの赤い部分を考えると、
正の値を何乗しても正なので
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} \gt 0$
より
$ \dfrac{1}{20}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{20} \gt \dfrac{1}{20}$
だから、
$d_{n} \gt \dfrac{1}{20}$
である
解答ニ:2
$n$が増加すると、式Gの赤い部分はつねに減少する。
よって、それに$ \dfrac{1}{20}$をたした$\{d_{n}\}$もつねに減少する
解答ヌ:1
ことが分かる。
最後は$\{c_{n}\}$だけど、
$c_{n}= \textcolor{red}{\dfrac{1}{d_{n}}} +20$①
だった。
この式の赤い部分を考えると、ニヌより、
$d_{n} \gt \dfrac{1}{20}$
なので
$20d_{n} \gt 1$
より
$20 \gt \dfrac{1}{d_{n}}$
$\{d_{n}\}$は正の値でつねに減少するから
$d_{n} \gt d_{n+1}$
より
$\dfrac{d_{n}}{d_{n+1}\cdot d_{n}} \gt \dfrac{d_{n+1}}{d_{n+1}\cdot d_{n}}$
$\dfrac{1}{d_{n+1}} \gt \dfrac{1}{d_{n}}$
となるので、
$\dfrac{1}{d_{n}}$はつねに増加する
といえる。
したがって、$ \dfrac{1}{d_{n}}$に$20$をたした$c_{n}$は
$40 \gt c_{n}$で、つねに増加する
ことが分かる。
これにあてはまるのは、選択肢のうち
④
しかない。
解答ネ:4