図の固定

図Ａの厚紙の縦の長さを考えると、
$2x<9$
より
$x<{\displaystyle \frac{9}{2}}$
でなければならない。

これと
$0<x$
をあわせて、$x$の範囲は
$0<x<{\displaystyle \frac{9}{2}}$式Ａ
とかける。

解答ア：９, イ：２

この厚紙を組み立てた箱は、
底面（青い四角形）の
縦の長さが$9-2x$ 横の長さが$24-2x$ 高さが$x$ になる。

なので、体積$V$は
$V=(9-2x)(24-2x)x$式Ｂ
と表せる。

これを展開すると、求める$V$の式は
$V=4x^3-66x^2+216x$式Ｂ'
である。

解答ウ：４, エ：６, オ：６, カ：２, キ：１, ク：６

$x$の定義域を式Ａとして、式Ｂ'の最大値を求める。

式Ｂ'は三次式で、$x^3$の係数は正だ。
なので、グラフは全体として右上がりの

のような形になる。

また、式Ｂより、グラフは$x$軸と
$x=0$，${\displaystyle \frac{9}{2}}$，${\displaystyle \frac{24}{2}}$
で共有点をもつ。

よって、式Ｂ'のグラフの概形は図Ｂのような形だ。

図の固定

$x$の定義域は
$0<x<{\displaystyle \frac{9}{2}}$
だから図Ｂの緑の部分（両端を含まない）なので、$V$が最大になるのは赤い点。

赤い点は 式Ｂ'の２つの極値の$x$が小さい方なので、これを求める。

式Ｂ'を微分すると
$V^{\prime }=4\cdot 3x^2-66\cdot 2x+216$式Ｃ
とかける。

ここで、式Ｂから式Ｂ'への計算を思い出すと
$216=24\cdot 9$
だったから、式Ｃはさらに
$V^{\prime }=4\cdot 3x^2-66\cdot 2x+24\cdot 9$
より
$$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }& =4\cdot 3(x^2-11x+2\cdot 9)\\ & =12(x-2)(x-9)\end{array}$$ と変形できる。

なので、２つの極値の$x$が小さい方、つまり図Ｂの赤い点の$x$座標は
$x=2$
である。

解答ケ：２

これを式Ｂに代入すると、求める$V$の最大値は
$$\begin{array}{rl}(9-2\cdot 2)(24-2\cdot 2)\cdot 2& =5\cdot 20\cdot 2\\ & =200\end{array}$$ であることが分かる。

解答コ：２, サ：０, シ：０

次に、箱にふたがある場合を考える。

図の固定

図Ｄの厚紙を組み立てたとき、青い四角形が底面に、黄色い四角形がふたになる。
つまり、青い四角形と黄色い四角形は合同だ。
なので、
ス$={\displaystyle \frac{24}{2}}$
$=12$
である。

解答ス：３

また、この厚紙を組み立てた箱は、
底面（青い四角形）の
縦の長さが$9-2x$ 横の長さが$12-x$ 高さが$x$ になる。

なので、体積$W$は
$W=(9-2x)(12-x)x$式Ｄ
と表せる。

(1)の箱の体積は、式Ｂより
$V=(9-2x)(24-2x)x$
$\phantom{V}=2(9-2x)(12-x)x$式Ｂ''
だった。

式Ｄと式Ｂ''を見比べると、赤い部分は共通だ。
なので、
式Ｄのグラフは、式Ｂ''のグラフを縦軸方向に${\displaystyle \frac{1}{2}}$倍したもの であることが分かる。。

よって、

ことになる。

厚紙の縦の長さを$a$，横の長さを$b$として考えてみよう。
ふたのない箱の体積$V$は、式Ｂをちょっと変えて
$V=(a-2x)(b-2x)x$式Ｅ
ふたのある箱の体積$W$は、式Ｄをちょっと変えて
$W=(a-2x)({\displaystyle \frac{b}{2}}-x)x$
$\phantom{W}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a-2x)(b-2x)x$式Ｆ
となる。

式Ｅと式Ｆを見比べると、赤い部分は共通だ。
なので
式Ｆのグラフは、式Ｅのグラフを縦軸方向に${\displaystyle \frac{1}{2}}$倍したもの になるから、式Ｂ''と式Ｄの関係と同じだ。

よって、セは、$a$，$b$の値にかかわらず どのような長方形のときでも成り立つ。

解答タ：４