①式に$(100,1250)$，$(200,450)$，$(300,50)$を代入すると、連立方程式
$10000a+100b+c=1250$式Ａ1 $40000a+200b+c=450$式Ａ2 $90000a+300b+c=50$式Ａ3 ができる。

これを解いて、

途中式

式Ａ2から式Ａ1を引いて、
$30000a+100b=-800$
より
$300a+b=-8$式Ｂ1

式Ａ3から式Ａ2を引いて、
$50000a+100b=-400$
より
$500a+b=-4$式Ｂ2

式Ｂ2から式Ｂ1を引いて、
$200a=4$
$$\begin{array}{rl}a& ={\displaystyle \frac{4}{200}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{50}}\end{array}$$ となる。

これを式Ｂ2に代入すると、
$500\times {\displaystyle \frac{1}{50}}+b=-4$
$b=-4-10$
となるから、

$b=-14$
である。

解答ア：－, イ：１, ウ：４

よって、①式は
$y={\displaystyle \frac{1}{50}}{x}^2-14x+c$①
とかける。

問題文より、利益を$z$とすると、
$z=(x-80)\times$［売り上げ数］$-5000$式Ｃ
と表せる。

売り上げ数の式は①式なので、①式の右辺を式Ｃの［売り上げ数］に代入すると、利益$z$は
$z=(x-80)\times (x$の二次式$)-5000$
となるから、$x$の三次式だ。

解答エ：３

また、式Ｃを見ると、［売り上げ数］に$x$の式を代入したとき、$z$が二次式になるのは、
売り上げ数の式が$x$の一次式のとき であることが分かる。

解答オ：１

式Ｄのグラフは上に凸の放物線だ。
なので、頂点が定義域に含まれれば、$z$が最大になるのは頂点のとき。
というわけで、頂点の$x$座標を求める。
式Ｄを平方完成するのは面倒なので、

復習

$y=a{x}^2+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
$x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$

を使う。

復習より、式Ｄのグラフの頂点の$x$座標は
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{-1480}{2\cdot (-4)}}\\ & =185\end{array}$$ である。

いま、定義域は$100\leqq x\leqq 300$なので、頂点は定義域に含まれる。
よって、$z$が最大になる$x$を$p$とすると、
$p=185$
となる。

解答サ：１, シ：８, ス：５

問題文中の図３を見ると、$x$がどんな値でも
②$<$① ③$<$① だ。

利益は この①，②，③を式Ｃの［売り上げ数]に代入したものだから、
②による利益$<$①による利益 ③による利益$<$①による利益 より
②による利益の最大値$<$①による利益の最大値 ③による利益の最大値$<$①による利益の最大値 と考えられる。

ここで、問題文から
②による利益の最大値$=39100$ ③による利益の最大値$=50112$ であることが分かっている。

よって、①による利益の最大値を$M$とすると、
$\{\begin{array}{l}39100<M\\ 50112<M\end{array}$
より
$50112<M$式Ｅ
なので、解答群の⓪～②は不適。

正解は③，④と考えられるけど、念のために⑤，⑥も検討しておく。

問題文中の図４を見ると、$100\leqq x\leqq 300$において、
①＜④ だ。

利益は この①，④を式Ｃの［売り上げ数]に代入したものだから、
①による利益$<$④による利益 より
①による利益の最大値$<$④による利益の最大値 と考えられる。

ここで、問題文から
④による利益の最大値$=74350$ であることが分かっている。

よって、①による利益の最大値$M$は
$M<74350$ である。

これと式Ｅを合わせると、$M$の範囲は
$50112<M<74350$ となるので、解答群のうち正しいものは
②
だ。

解答タ：２