最初は、点$\mathrm{S}$の位置から。

図Ａにチェバの定理を使うと
${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BS}}{\mathrm{SC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}}=1$
なので、
${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BS}}{\mathrm{SC}}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{1}}=1$
とかける。

これを計算して、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BS}}{\mathrm{SC}}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$
より
$\mathrm{BS}:\mathrm{SC}=3:4$
である。

よって、
点$\mathrm{S}$は辺$\mathrm{BC}$を$3:4$に内分する点 となる。

解答ア：３, イ：４

図Ｂのように、△$\mathrm{ABC}$の内接円（青い円）が△$\mathrm{ABC}$と３点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}$で接している場合を考える。

このとき、

$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:3$なので、
$\mathrm{AP}=2$ $\mathrm{PB}=3$

$\mathrm{PB}=\mathrm{BT}$なので
$\mathrm{BT}=3$

$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:2$なので、
$\mathrm{QC}=4$

$\mathrm{QC}=\mathrm{TC}$なので
$\mathrm{TC}=4$

となる。

よって、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{BC}& =\mathrm{BT}+\mathrm{TC}\\ & =3+4\\ & =7\end{array}$$

解答エ：７

であり、点$\mathrm{T}$は
辺$\mathrm{BC}$を$3:4$に内分する点 なので、点$\mathrm{S}$と一致する。
つまり、点$\mathrm{S}$は△$\mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{BC}$の接点だといえる。

解答オ：２

さらに、△$\mathrm{BPR}$（図Ｃの赤い三角形）と△$\mathrm{CQR}$（青い三角形）の面積比を考える。

図Ｃのオレンジの三角形にメネラウスの定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RQ}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{QC}}{\mathrm{CA}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}}=1$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RQ}}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=1$
とかける。

これを計算すると
${\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RQ}}}={\displaystyle \frac{15}{8}}$
なので、点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{BQ}$を
$15:8$ に内分する。

解答カ：１, キ：５, ク：８

カキクケコサを図Ｃに書き込むと、図Ｄになる。

△$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする。

赤い三角形の面積を考えると、
$\mathrm{RP}:\mathrm{CP}=3:23$なので、オレンジの三角形の面積は
オレンジ$={\displaystyle \frac{3}{23}}S$
$\mathrm{PB}:\mathrm{AB}=3:5$なので、赤い三角形の面積は
赤$={\displaystyle \frac{3}{5}}$オレンジ
より、
赤$={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{23}}S$式Ａ

青い三角形の面積を考えると、
$\mathrm{RQ}:\mathrm{BQ}=8:23$なので、緑の三角形の面積は
緑$={\displaystyle \frac{8}{23}}S$
$\mathrm{QC}:\mathrm{AC}=4:5$なので、青い三角形の面積は
青$={\displaystyle \frac{4}{5}}$緑
より、
青$={\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{23}}S$式Ｂ

である。

よって、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{△}\mathrm{CQR}\text{の面積}}{\text{△}\mathrm{BPR}\text{の面積}}}& ={\displaystyle \frac{\text{青い三角形の面積}}{\text{赤い三角形の面積}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\text{式Ｂ}}{\text{式Ａ}}}\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}& ={\displaystyle \frac{\frac{4}{5}\cdot \frac{8}{23}S}{\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{23}S}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\cdot 8}{3\cdot 3}}\end{array}$$

$={\displaystyle \frac{32}{9}}$
となる。

解答シ：３, ス：２, セ：９

今度は、△$\mathrm{BPR}$と△$\mathrm{CQR}$の面積比が分かっていて、それから$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}$を求める問題。
ちょっと面倒だけど、
$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=x:1$
とおいて、(i)の作業をもう一回やろう。

図Ｃのオレンジの三角形にメネラウスの定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RQ}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{QC}}{\mathrm{CA}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}}=1$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RQ}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=1$
${\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RQ}}}={\displaystyle \frac{3x+3}{2}}$
なので、点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{BQ}$を
$3x+3:2$ に内分する。

緑の三角形にメネラウスの定理を使うと
${\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RP}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{BA}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}}=1$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RP}}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{x}{1}}=1$
${\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RP}}}={\displaystyle \frac{5}{3x}}$
なので、点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{CP}$を
$5:3x$ に内分する。

以上を図Ｅに書き込むと、図Ｆができる

△$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする。

赤い三角形の面積を考えると、
$\mathrm{RP}:\mathrm{CP}=3x:3x+5$なので、オレンジの三角形の面積は
オレンジ$={\displaystyle \frac{3x}{3x+5}}S$
$\mathrm{PB}:\mathrm{AB}=3:5$なので、赤い三角形の面積は
赤$={\displaystyle \frac{3}{5}}$オレンジ
より、
赤$={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3x}{3x+5}}S$式Ｃ

青い三角形の面積を考えると、
$\mathrm{RQ}:\mathrm{BQ}=2:3x+5$なので、緑の三角形の面積は
緑$={\displaystyle \frac{2}{3x+5}}S$
$\mathrm{QC}:\mathrm{AC}=1:x+1$なので、青い三角形の面積は
青$={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$緑
より、
青$={\displaystyle \frac{1}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3x+5}}S$式Ｄ

である。

よって、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{△}\mathrm{CQR}\text{の面積}}{\text{△}\mathrm{BPR}\text{の面積}}}& ={\displaystyle \frac{\text{青い三角形の面積}}{\text{赤い三角形の面積}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\text{式Ｄ}}{\text{式Ｃ}}}\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}& ={\displaystyle \frac{\frac{1}{x+1}\cdot \frac{2}{3x+5}S}{\frac{3}{5}\cdot \frac{3x}{3x+5}S}}\\ & ={\displaystyle \frac{\frac{1\cdot 2}{x+1}}{\frac{3\cdot 3x}{5}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1\cdot 2}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{3\cdot 3x}}\end{array}$$

$={\displaystyle \frac{10}{9x^2+9x}}$式Ｅ
となる。

問題文から
${\displaystyle \frac{\text{△}\mathrm{CQR}\text{の面積}}{\text{△}\mathrm{BPR}\text{の面積}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
なので、式Ｅはさらに
${\displaystyle \frac{10}{9x^2+9x}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
とかける。

これを解くと

途中式

$9x^2+9x=40$
$9x^2+9x-40=0$
$(3x+8)(3x-5)=0$
$x=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$，${\displaystyle \frac{5}{3}}$
となるけど、$x$は負じゃないので、

$x={\displaystyle \frac{5}{3}}$
だ。

よって、
$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}={\displaystyle \frac{5}{3}}:1$
$\phantom{\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}}=5:3$
なので、点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{CP}$を
$5:3$ に内分する点である。

解答ソ：５, タ：３