公式

母標準偏差を$\sigma$，標本平均を$\bar{X}$，標本の大きさを$n$とすると、母平均$\mu$の信頼区間を求める式は、
${\displaystyle \bar{X}-z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leqq \mu \leqq \bar{X}+z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

ただし、信頼度が$c\mathrm{\%}$のとき
$z$は、右図を標準正規分布の確率分布図として、図中の$z_0$の値。
特に
信頼度$95\mathrm{\%}$のとき、$z=1.96$ 信頼度$99\mathrm{\%}$のとき、$z=2.58$

公式より、母平均$\mu$の95%での信頼区間は、
$55.0-1.96{\displaystyle \cdot \frac{25.5}{\sqrt{100}}\leqq \mu \leqq 55.0+1.96\cdot \frac{25.5}{\sqrt{100}}}$
とかける。

これを解いて、
$55.0-1.96\cdot 2.55\leqq \mu \leqq 55.0+1.96\cdot 2.55$式Ａ
$55.0-4.998\leqq \mu \leqq 55.0+4.998$
で、この$4.998$だけど、答えは小数第１位まで求めればいいし、たし算引き算する相手も小数第１位までの数なので、四捨五入して小数第１位までの数にしておこう。
すると、上の式は
$55.0-5.0\leqq \mu \leqq 55.0+5.0$
となるので、求める信頼区間は
$50.0\leqq \mu \leqq 60.0$
である。

解答$[50.0,60.0]$

$\bar{X}$の確率分布図を考える

最初に、標本平均$\bar{X}$の確率分布曲線のグラフを描く。

この問題では母集団がどんな分布か分からない。
でも、$100$は十分に大きい数と考えるので、上の復習より、$\bar{X}$は近似的に正規分布$N(\mu ,\frac{{25.5}^2}{100})$に従う。

この確率分布曲線のグラフを描くと、図Ａができる。

図の固定

例題で問われているのは、信頼度95%での母平均の信頼区間だ。
これは、図Ａの緑の部分に標本平均の$55.0$が入るような$\mu$の範囲と言いかえられる。
つまり、図Ｂのように、緑の範囲に$55.0$が入ればよい。

図の固定

正規分布表を見る

これでグラフは標準正規分布になった。
なので、正規分布表が使える。

正規分布表に載っているのは、$0$より右の面積だ。なので、図Ｃの$0$より右の面積を考えよう。

緑の面積が$0.95$で、正規分布は左右対称なので、$0$より右の面積は
${\displaystyle \frac{0.95}{2}=0.475}$
である。

正規分布表で$0.475$を探すと、$1.96$であることが分かる。

なので、図Ｄのように、緑の部分の右端は$1.96$だ。
また、正規分布は左右対称なので、左端は$-1.96$である。

図の固定

あとは計算

図Ｄより、
$-1.96{\displaystyle \leqq \frac{55.0-\mu }{2.55}\leqq 1.96}$式Ｂ
ができる。
この式が成り立つときの$\mu$の範囲が、求める母平均の信頼区間だ。

式Ｂを解く。
各辺に$2.55$をかけて、
$-1.96\cdot 2.55\leqq 55.0-\mu \leqq 1.96\cdot 2.55$
各辺から$55.0$を引いて、
$-55.0-1.96\cdot 2.55\leqq -\mu \leqq -55.0+1.96\cdot 2.55$
各辺に$-1$をかけて、
$55.0+1.96\cdot 2.55\geqq \mu \geqq 55.0-1.96\cdot 2.55$
$55.0-1.96\cdot 2.55\leqq \mu \leqq 55.0+1.96\cdot 2.55$

上の式Ａと同じ式ができた。
さらに計算して、
$55.0-4.998\leqq \mu \leqq 55.0+4.998$
で、この$4.998$だけど、答えは小数第１位まで求めればいいし、たし算引き算する相手も小数第１位までの数なので、四捨五入して小数第１位までの数にしておこう。
すると、上の式は
$55.0-5.0\leqq \mu \leqq 55.0+5.0$
となるので、求める信頼区間は
$50.0\leqq \mu \leqq 60.0$
である。

解答$[50.0,60.0]$