最初は、３回の移動で$(3,3)$に至る移動の仕方の数から。

問題文中の図２を見ると、$(3,3)$に至るためには
点$\mathrm{P}$は、$(3,3)$の前には$(2,2)$にある
（以下「直前の点が$(2,2)$」のように表す） パターンしかない。

図２の$(2,2)$のところに書いてある四角囲みの中の数字（長いので数字と呼ぶことにする）は$1$だから、
原点→$(2,2)$の移動の仕方は$1$通り。

$(2,2)$→$(3,3)$の移動の仕方は$1$通り。

よって、求める$(3,3)$への移動の仕方は
$1\times 1=1$通り
である。

解答ア：１

以上より、ある点に至る移動の仕方の数は、直前の点の数字（直前の点が複数あるときは数字の和）に等しいと考えられる。

以下、この方法で解いてみよう。

$(3,1)$の直前の点は$(2,2)$または$(2,0)$だけど、図２を見ると
$(2,2)$の数字は$1$ $(2,0)$の数字は$2$ だ。

なので、求める$(3,3)$への移動の仕方は
$1+2=3$通り
である。

解答イ：３

同様に、$(3,-1)$の直前の点は$(2,0)$だけど、
$(2,0)$の数字は$2$ だから、求める$(3,-1)$への移動の仕方は
$2$通り
である。

解答ウ：２

以上より、条件（＊）を満たす硬貨の面の出方の総数は
$1+3+2$
となる。

硬貨は$3$回投げるから、面の出方は
$2^3$
通りある。

さらに、どの移動の仕方も同じ確率で起こる。

よって、条件（＊）を満たす確率は
${\displaystyle \frac{1+3+2}{2^3}}$
であることが分かる。

今度は硬貨を４回投げる。
いろいろ考えるより、手を動かした方が早い。
参考図に、問題文中の図２のようなものを描き込んでしまおう。

くり返しになるけど、図Ａを描くポイントは
数字$=$直前の点の数字の和 だ。

以上の作業をすると、図Ａができる。

図の固定

図Ａより、
$y_1\geqq 0$かつ$y_2\geqq 0$かつ$y_3\geqq 0$かつ$y_4\geqq 0$であるような移動の仕方の$y_3$までは、図Ａの数字と数字をたして、
$1+2=3$通り

$y_3$までの硬貨の面の出方は
$2^3$通り

さらに、どの移動の仕方も同じ確率で起こる。

なので、この場合の確率は
${\displaystyle \frac{3}{2^3}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$
である。

解答エ：３, オ８

図Ａ$y_3=1$であるのは、図Ａの赤い点。
なので、$y_1\geqq 0$かつ$y_2\geqq 0$かつ$y_3=1$であるような移動の仕方は、図Ａの数字の
$2$通り

$y_3$までの硬貨の面の出方は
$2^3$通り

さらに、どの移動の仕方も同じ確率で起こる。

だから、この場合の確率は
${\displaystyle \frac{2}{2^3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
となる。

解答カ：１, キ：４

ここで条件付き確率の意味の復習をしておくと、

だった。

この問題にあてはめると、
全事象は、$y_1\geqq 0$かつ$y_2\geqq 0$かつ$y_3\geqq 0$かつ$y_4\geqq 0$であった場合なので、図Ａの数字$+$数字の
$1+2$通り 条件付き確率を求めるのは、上の全事象の中での$y_3=1$の場合なので、数字の $2$通り だ。

さらに、どの移動の仕方も同じ確率で起こる。

よって、求める条件付き確率は
${\displaystyle \frac{2}{1+2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$
である。

解答ク：２, ケ：３

(i)では$y_1\geqq 0$かつ$y_2\geqq 0$かつ$y_3\geqq 0$，(ii)では$y_1\geqq 0$かつ$y_2\geqq 0$かつ$y_3\geqq 0$かつ$y_4\geqq 0$っていう条件があったけど、(iii)ではそういう条件なしで考える。

図Ａを見ると、点$(4,2)$に移動するためには、
右上に３回 右下に１回 移動すればよいことが分かる。

よって、このときの効果の面の出方は
表が３回 裏が１回 である。

解答コ：３

今度は数直線上を点$\mathrm{Q}$が動く問題だ。

$7$回移動して座標が$3$なので、
３の倍数が５回 それ以外が２回 出ればよい。

３の倍数が出る確率は${\displaystyle \frac{2}{6}}$ それ以外が出る確率は${\displaystyle \frac{4}{6}}$ なので、求める確率は
${\left({\displaystyle \frac{2}{6}}\right)}^5{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^2{\times }_7{\mathrm{C}}_2={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^5{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2{\times }_7{\mathrm{C}}_2$
とかける。

これを計算すると
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2^2\times 7\cdot 6}{3^7\times 2\cdot 1}}& ={\displaystyle \frac{2^2\times 7}{3^6}}\\ & ={\displaystyle \frac{28}{729}}\end{array}$$ となる。

解答サ：２, シ：８, ス：７, セ：２, ソ：９

(ii)(iii)は、点$\mathrm{Q}$の座標がつねに$0$以上$3$以下である場合。
これを計算で解こうとすると大変なので、(1)と同じように解く。
つまり、図Ａのような図を描き、
$x$軸を、さいころを投げた回数 $y$軸を、数直線上の座標 だと思って解くわけだ。

気づいてみると、(1)では硬貨を３～４回しか投げないのに、問題文中の参考図の$x$は$7$まである。
つまり、(1)(ii)のときと同様に この図に書き込んで解きなさいというヒントになっている。

というわけで、図を描くと図Ｃができる。
ここでは 点$\mathrm{Q}$の座標がつねに$0$以上$3$以下であるときを問われているので、横軸より下と、縦軸で$3$より上は考えない。
青い点の数字は必要ないから書かなかった。

図の固定

さいころを７回投げたときに点$\mathrm{Q}$の座標が$3$であるのは、$(7,3)$、つまり図Ｃの赤い点。
よって、移動の仕方は数字の
$8$通り。式Ｃ

(i)より、さいころを７回投げて点$\mathrm{Q}$の座標が$3$であるためには
３の倍数が５回 それ以外が２回 出ればよい。

よって、求める確率は
${\left({\displaystyle \frac{2}{6}}\right)}^5{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^2\times 8={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^5{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2\times 8$式Ｄ
とかける。

これを計算すると
${\displaystyle \frac{2^2\times 8}{3^7}}={\displaystyle \frac{32}{2187}}$
となる。

解答タ：３, チ：２,
ツ：２, テ：１, ト：８, ナ：７

さいころを３回投げたときに点$\mathrm{Q}$の座標が$1$であるのは、$(3,1)$、つまり図Ｃの緑の点。
この緑の点を通る場合だけを図Ｃと同じように作図すると、図Ｄができる。

図の固定

(1)でやった条件付き確率の復習をこの問題にあてはめると、
全事象は、さいころを７回投げる間、点$\mathrm{Q}$の座標がつねに$0$以上$3$であり、かつ７回投げて点$\mathrm{Q}$の座標が$3$である場合なので、式Ｃの
$8$通り

条件付き確率を求めるのは、上の全事象の中で さいころを３回投げて点$\mathrm{Q}$の座標が$1$である場合なので、図Ｄの数字の
$6$通り式Ｅ

だ。

さらに、どの移動の仕方も同じ確率で起こる。

よって、求める条件付き確率は
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{式Ｅ}}{\text{式Ｃ}}}& ={\displaystyle \frac{6}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$ である。

解答ニ：３, ヌ：４