△$\mathrm{ABC}$が存在するためには、
$\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}<\mathrm{BC}+\mathrm{AC}\\ \mathrm{BC}<\mathrm{AC}+\mathrm{AB}\\ \mathrm{AC}<\mathrm{AB}+\mathrm{BC}\end{array}$
より、連立不等式
$3x<(x+6)+(30-2x)$式Ａ $x+6<(30-2x)+3x$式Ｂ $30-2x<3x+(x+6)$式Ｃ を満たす$x$が存在すればよい。

式Ａを変形すると、
$3x-x+2x<6+30$
$4x<36$
$x<9$式Ａ'

式Ｂを変形すると、
$x+2x-3x<30-6$
$0<24$
なので、この式は必ず成り立つ

式Ｃを変形すると、
$-2x-3x-x<6-30$
$-6x<-24$
$x>4$式Ｃ'

だから、三角形が存在するのは、式Ａ'とＣ'の共通部分の
$4<x<9$式Ｄ
のとき。

解答ア：４, イ：９

また、三角形が二等辺三角形になるのは、
$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$の
$3x=x+6$式Ｅ $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の
$3x=30-2x$式Ｆ $\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$の
$x+6=30-2x$式Ｇ のいずれかの場合。

式Ｅの場合
式Ｅを変形すると
$2x=6$
$x=3$
だけど、これは式Ｄの範囲に入らないので不適。

式Ｆの場合
式Ｆを変形すると
$5x=30$
$x=6$
だけど、これは式Ｄの範囲に入っている。

式Ｇの場合
式Ｇを変形すると
$3x=24$
$x=8$
で、これも式Ｄの範囲に入っている。

以上より、三角形が二等辺三角形になるのは
$x=6$，$8$
のとき。

解答ウ：６, エ：８

ここで、三角形の辺と角の関係を思い出すと、

復習

△$\mathrm{ABC}$の最長の辺が$\mathrm{AB}$であるとき、
${\mathrm{AB}}^2<{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2$のとき、△$\mathrm{ABC}$は鋭角三角形 ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2$のとき、△$\mathrm{ABC}$は直角三角形 ${\mathrm{AB}}^2>{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2$のとき、△$\mathrm{ABC}$は鈍角三角形 だった。

$x=8$のとき、三角形の各辺は
$\mathrm{AB}=3\cdot 8=24$ $\mathrm{BC}=8+6=14$ $\mathrm{AC}=30-2\cdot 8=14$ なので、最長の辺は$\mathrm{AB}$だ。

なので、${\mathrm{AB}}^2$と${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2$の大小関係を調べると、

${\mathrm{AB}}^2={24}^2$
$\phantom{{\mathrm{AB}}^2}=(2\cdot 12{)}^2$
$\phantom{{\mathrm{AB}}^2}=2^2\cdot 144$

${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2={14}^2+{14}^2$
$\phantom{{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2}=(2\cdot 7{)}^2+(2\cdot 7{)}^2$
$\phantom{{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2}=2^2\cdot 2\cdot 49$

だから、
${\mathrm{AB}}^2>{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2$
だ。

よって、このとき、三角形は鈍角三角形になる。

解答オ：２

$x=6$のとき、三角形の各辺は
$\mathrm{AB}=3\cdot 6=18$ $\mathrm{BC}=6+6=12$ $\mathrm{AC}=30-2\cdot 6=18$ となるから、明らかに鋭角三角形である。

詳しく

二等辺三角形が直角三角形や鈍角三角形になるためには、等辺じゃない辺が最長でないといけない。

解答カ：０

次は、△$\mathrm{ABC}$の外接円の半径だ。

ここで、外接円の半径が含まれる公式の復習をしておく。

復習

図のような△$\mathrm{ABC}$において、外接円の半径$R$が含まれる公式は
正弦定理
${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R$
三角形の面積の公式
$S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$
の２つある。

復習の公式を使って外接円の半径$R$を求めるんだけど、
解法１：正弦定理を使う方法
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$を求め、それを正弦定理に代入する。
たぶん一般的な解法。
解法２：面積を使う方法 おすすめ
ヘロンの公式で△$\mathrm{ABC}$の面積を求め、それを復習の面積の公式に代入する。
の２通りの方法を説明する。

$x=6$のとき、△$\mathrm{ABC}$は、図Ｂのようになる。

まず、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$を求めるために、$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$を角のひとつとする直角三角形をつくる。

図Ｂのように、頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし、その足を点$\mathrm{H}$とする。
△$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形なので、点$\mathrm{H}$は$\mathrm{BC}$の中点になるから、
$\mathrm{BH}=6$
だ。

このとき、△$\mathrm{ABH}$に三平方の定理を使うと、
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{AH}}^2& ={\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BH}}^2\\ & ={18}^2-6^2\\ & =6^2(3^2-1^2)\\ & =6^2\cdot 8\end{array}$$

$0<\mathrm{AH}$なので、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AH}& =6\sqrt{8}\\ & =6\cdot 2\sqrt{2}\end{array}$$ である。

△$\mathrm{ABH}$は直角三角形なので、
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABH}={\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}}$
とかける。

これに$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AH}$の値を代入すると、
$$\begin{array}{rl}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABH}& ={\displaystyle \frac{6\cdot 2\sqrt{2}}{18}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}$$ となる。

なので、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$も
$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$
だ。

$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$の値が分かったので、あとは正弦定理に代入だ。

△$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると、△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使って
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}=2R$
とかける。

これにそれぞれの値を代入すると
$2R={\displaystyle \frac{18}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}}$
と表せる。

この式の右辺の分母分子に$3$をかけて
$2R={\displaystyle \frac{18\cdot 3}{2\sqrt{2}}}$
より
$R={\displaystyle \frac{9\cdot 3}{2\sqrt{2}}}$

分母を有理化して、求める外接円の半径は、
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{9\cdot 3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{27\sqrt{2}}{4}}\end{array}$$ である。

解答キ：２, ク：７, ケ：２, コ：４

ヘロンの公式より、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{2}}={\displaystyle \frac{18+12+18}{2}}=24$
を使って、△$\mathrm{ABC}$の面積$S$は
$S=\sqrt{24(24-18)(24-12)(24-18)}$
とかける。

これを計算すると
$$\begin{array}{rl}S& =\sqrt{24\cdot 6\cdot 12\cdot 6}\\ & =\sqrt{{12}^2\cdot 6^2\cdot 2}\\ & =12\cdot 6\sqrt{2}\end{array}$$ となる。

よって、△$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると、復習の面積の公式より、
$12\cdot 6\sqrt{2}={\displaystyle \frac{18\cdot 12\cdot 18}{4R}}$
と表せる。

これを解いて、外接円の半径$R$は
$12\cdot 6\sqrt{2}\cdot 4R=18\cdot 12\cdot 18$
より
$$\begin{array}{rl}R& ={\displaystyle \frac{18\cdot 12\cdot 18}{12\cdot 6\sqrt{2}\cdot 4}}\\ & ={\displaystyle \frac{3\cdot 9}{2\sqrt{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{27\sqrt{2}}{4}}\end{array}$$ である。

解答キ：２, ク：７, ケ：２, コ：４