この問題はグラフがなくても解けるけど、せっかくなので練習も兼ねてグラフを描こう。

$f(0)=0$
なので、$y=f(x)$のグラフは原点を通る。

$f(x)$の式を微分すると
$f^{\prime }(x)=3x^2-k$式Ａ
だから、$f^{\prime }(x)=0$となる$x$は
$3x^2-k=0$
より
${\displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{k}{3}}}$式Ｂ
である。

また、$f(x)$は三次関数で、$x^3$の係数は正。
なので、グラフは全体としては右上がりの、

のような形だ。

以上より、$y=f(x)$のグラフ$C$は図Ａのような形になる。

アドバイス

今回は微分してグラフを描いたけど、グラフの形を知るだけなら因数分解で描いた方が早い。
方法は このページ 参照。

グラフができたところで、問題を解こう。

$f(x)$が$x=2$で極値をとるとき、
$f^{\prime }(2)=0$
である。

図Ａを見ると、これは極小値であることが分かる。

解答ア：０

$f^{\prime }(2)=0$
なので、式Ａより
$3\cdot 2^2-k=0$
とかける。

これを$k$について解いて、
$k=12$
である。

解答イ：１, ウ：２

さらに、$f(x)$は$x=2$で極小値をとるので、図Ａより、極大値をとる$x$は
$-2$
である。

解答エ：－, オ：２

次は、$g(x)$だ。

$f(x)$の式の$x$に$(x-t)$を代入すると、$g(x)$の式ができる。
よって、
$y=f(x)$のグラフ$C$を
   $x$軸方向に$t$平行移動すると、
$y=g(x)$のグラフ$C_1$になる ※Ａ ことが分かる。

いま、極大になるときの$x$は
$f(x)$は$-2$ $g(x)$は$3$ なので、※Ａより、$-2$を$t$平行移動したものが$3$だから、
$-2+t=3$
とかける。

これを整理して、
$t=5$
である。

解答カ：５

(ii)では、$t=1$、つまり、
曲線$C$を$x$軸方向に$1$平行移動すると$C_1$に重なる 場合を考える。

このとき、$C_1$の式は
$y=g(x)$
$\phantom{y}=(x-1{)}^3-k(x-1)$
となる。

このグラフと曲線$C$が$x=-2$で交わるので、
$f(-2)=g(-2)$
より
$(-2{)}^3-k(-2)=(-2-1{)}^3-k(-2-1)$
とかける。

これを解いて、$k$は

途中式

$(-2{)}^3+2k=(-3{)}^3+3k$
$k=(-2{)}^3-(-3{)}^3$
より

$k=19$
である。

解答キ：１, ク：９

このとき、
$f(x)=x^3-19x$式Ｃ $g(x)=(x-1{)}^3-19(x-1)$式Ｄ となる。

さらに、$C$と$C_1$のもうひとつの交点の$x$座標だけど、これは両方の曲線の式の連立方程式
$y=f(x)$ $y=g(x)$ を解けばよい。

$f(x)=g(x)$
より
$g(x)-f(x)=0$式Ｅ

これに式Ｃ，式Ｄを代入して、
$\{(x-1{)}^3-19(x-1)\}-(x^3-19x)=0$
より
$(x^3-3x^2+3x-1-19x+19)-(x^3-19x)=0$
$-3x^2+3x+18=0$式Ｅ'

途中式

$x^2-x-6=0$
$(x+2)(x-3)=0$
なので

$x=-2$，$3$

いま問われているのは $x=-2$以外の交点なので、求める答えは
$x=3$
である。

解答ケ：３

以上より、このときの$C$と$C_1$は、図Ｂのような状態だ。

この図Ｂ中の赤い部分の面積を求める。

赤い部分の面積を$S$とすると、
$S={\displaystyle {\int }_0^3\{g(x)-f(x)\}dx}$
と表せるけど、この式の赤い部分は、さっきの式Ｅ→式Ｅ'の変形より
$S={\displaystyle {\int }_0^3(-3x^2+3x+18)dx}$
$\phantom{S{\displaystyle }}{\displaystyle =3{\int }_0^3(-x^2+x+6)dx}$
とかける。

あとはこれを計算して、
${\displaystyle S=3{[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+6x]}_0^3}$

途中式

$\phantom{S}{\displaystyle =3(-\frac{1}{3}\cdot 3^3+\frac{1}{2}\cdot 3^2+6\cdot 3)}$
$\phantom{S}{\displaystyle =3(-3^2+\frac{1}{2}\cdot 3^2+2\cdot 3^2)}$
$\phantom{S}{\displaystyle =3\cdot \frac{1}{2}\cdot 3^2(-2+1+4)}$
$\phantom{S}{\displaystyle =\frac{3^3}{2}\cdot 3}$

$\phantom{S{\displaystyle }}{\displaystyle =\frac{81}{2}}$
である。

解答コ：８, サ：１, シ：２

$a$，$b$と$p$，$k$の関係式を作るために
$h(x)=x^3+3a{x}^2+bx+c$式Ｆ
と①式を比較するんだけど、式の形をそろえないと無理。
式Ｆは因数分解できないので、①式を展開しよう。

①式を展開して、
$h(x)=x^3-3p{x}^2+3p^{2}x-p^3-kx+kp+q$
$x$について降べきの順に整理して、
$h(x)=x^3-3p{x}^2+(3p^2-k)x-p^3+kp+q$

これと式Ｆを比較すると
$3a=-3p$式Ｇ $b=3p^2-k$式Ｈ であることが分かる。

式Ｇより、
$p=-a$式Ｇ'

解答ス：－, セ：ａ

式Ｈより
$b=3p^2-k$

解答ソ：３

式Ｇ'を式Ｈに代入して
$b=3(-a{)}^2-k$
より
$k=3a^2-b$②

解答タ：３

となる。

また、問題にあるとおり、①式に$x=p$を代入すると
$h(p)=(p-p{)}^3-k(p-p)+q$
$\phantom{h(p)}=q$
となり、これに式Ｇ'を代入すると
$q=h(p)=h(-a)$
と表せる。

以上より、曲線$C$を平行移動すると$C_2$になる場合、

移動後の曲線の式を
$y=x^3+3a{x}^2+bx+c$
とすると、移動前の曲線の式は、
   $f(x)$の式に②式を代入した
$y=x^3-(3a^2-b)x$
とかける           ※Ｂ

ことが分かる。

$b=3a^2-3$
のとき、※Ｂより、平行移動前の曲線$y=f(x)$は
$y=x^3-\{3a^2-(3a^2-3)\}x$
$\phantom{y}=x^3-3x$式Ｉ
である。

解答チ：３

このとき、
$k=3$
なので、極値をとる$x$、つまり$y^{\prime }=0$になる$x$は、式Ｂに$k=3$を代入した
$x=\pm 1$式Ｊ
である。

その極値は、式Ｊを式Ｉに代入して
$y=(\pm 1{)}^3-3\cdot (\pm 1)$
$\phantom{y}=\pm 1\mp 3$
$\phantom{y}=\mp 2$
である。（複合同順）

以上より、移動前の曲線$y=f(x)$と移動後の曲線$y=h(x)$をグラフにすると、図Ｃができる。

図Ｃより、
$h(x)$は$f(x)$を
$x$軸方向に$5$ $y$軸方向に$1$ 式Ｋ 平行移動したものであることが分かる。

$f(x)$の極小値は
$x=1$のとき$-2$
なので、$h(x)$の極小値は、これを式Ｋのとおりに平行移動した
$x=6$のとき$-1$
となる。

解答ツ：６, テ：－, ト：１

解き方の方針は、

アドバイス

⓪～③を、平行移動後の曲線と考える。
※Ｂの考え方で、それぞれの平行移動前の式を求める。
移動前の式が同じ組合せは、平行移動して一致させることができる。

だ。

この考え方で、⓪～③についてひとつずつ計算してゆこう。

以上より、移動前の式が同じなのは
①と③
である。

なので、この２つの曲線は平行移動によって一致させることができる。

解答ナ，ニ：１，３ （順不同）