さいころを2回投げるので、表を書こう。
出た目の合計を$6$で割った余りが$A$なので、$A$の値は表Ａのようになる。

$A=4$になるのは表Ａの赤いマスの部分で、目の合計が
$4$または$10$ のとき。

解答ア：4, イ：1, ウ：0

このときの確率を求める。

表Ａのマスは$6\times 6$個あって、全部同じ確率で起こる。
そのうち、赤いマスは$6$個あるので、確率は
$\displaystyle \frac{6}{6\times 6}=\frac{1}{6}$
である。

解答エ：1, オ：6

さらに、$A\geqq 4$なのは 表Ａの赤いマス$+$緑のマスで、$12$個ある。
なので、その確率は
$\displaystyle \frac{12}{6\times 6}=\frac{1}{3}$
となる。

解答カ：1, キ：3

２回目を投げない場合、$A\geqq 4$である確率は表Ｂのようになる。

なので、１回目に$5$が出た場合、２回目を投げなければ、$A\geqq 4$である確率は
$1$
だ。

次に、２回目を投げる場合を考える。

表Ｃに表Ａを再び載せた。

1回目のさいころの目が$5$であるのは 表Ｃの緑の部分で、$6$マス。
2回目を投げて$A\geqq 4$になるのは 赤文字の部分で、$2$マス。
全てのマスは同じ確率で起こるから、$A\geqq 4$である確率は
赤文字のマス 緑のマス $\displaystyle = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
となる。

解答ク：1, ケ3

さらに、図Ｃを見ると気づくんだけど、どの縦の列にも$0$～$5$がひとつずつある。
つまり、
１回目に何の目が出ても、２回目を投げると、同じ確率で$A=0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$となる ことが分かる。

このことから、
１回目に何の目が出ても、２回目を投げると、$A\geqq 4$になる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$ といえる。

以上と表Ｂを合わせると、$A\geqq 4$である確率は 表Ｄのような状況であることが分かる。

表Ｄより、花子さん的には
1回目に出た目を$6$で割った余りが$3$以下であれば2回目を投げる のが有利だ。

解答コ：1

このときの$A\geqq 4$である確率は 表Ｄの赤いマスの和なんだけど、すべての赤いマスは$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で起こるので、
$\displaystyle \frac{1}{6}\left(1\times 2+\frac{1}{3}\times 4\right)$
$=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{6+4}{3}$
$=\displaystyle \frac{5}{9}$
である。

解答サ：5, シ：9

太郎さんの戦略に入る前に、$A$によって得点なしの確率がどのように変化するかを考えておこう。

ルールを確認しておくと、
$A$が決まった後にもう１回さいころを投げ、出た目を$n$とすると、$A\leqq n$であれば得点なし だった。

なので、得点なしの確率は、

$A=0$，$1$のとき、
$n$が何であっても$A\leqq n$なので、
確率は$1$

$A=2$のとき、
$n=2$，$3$，$4$，$5$，$6$なら$A\leqq n$なので、
確率は$\displaystyle \frac{5}{6}$

$A=3$のとき、
$n=3$，$4$，$5$，$6$なら$A\leqq n$なので、
確率は$\displaystyle \frac{4}{6}$

$A=4$のとき、
$n=4$，$5$，$6$なら$A\leqq n$なので、
確率は$\displaystyle \frac{3}{6}$

$A=5$のとき、
$n=5$，$6$なら$A\leqq n$なので、
確率は$\displaystyle \frac{2}{6}$

これを表にまとめると、表Ｅになる。

ここまで考えたところで、問題に戻ろう。

表Ｅより、２回目を投げない場合、得点なしの確率は表Ｆのようになる。

よって、１回目に$3$が出た場合、２回目を投げなければ 得点なしの確率は
$\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
となる。

解答ス：２. セ：３

次に、２回目を投げる場合を考える。

(2)で考えたように、
１回目に何の目が出ても、２回目を投げると、同じ確率で$A=0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$となる ことが分かっている。

なので、１回目に何の目が出ても、２回目を投げた場合の得点なしの確率は、表Ｅより
$\displaystyle \frac{1}{6}\left\{1+1+\frac{5}{6}+\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}\right\}$

途中式

$=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{6+6+5+4+3+2}{6}$
$=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{26}{6}$

$=\displaystyle \frac{13}{18}$
となる。

解答ソ：１, タ：３, チ：１, ツ：８

以上より、１回目に$3$が出た場合、得点なしの確率は
２回目を投げなければ、$\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{12}{18}$ ２回目を投げれば、$\displaystyle \frac{13}{18}$ となるから、
２回目を投げない方が得点なしとなる確率は小さい。

解答テ：０

ここまでの作業から、得点なしの確率は表Ｇのような状況であることが分かる。

表Ｇより、太郎さん的には
1回目に出た目を$6$で割った余りが$2$以下であれば2回目を投げる のが有利だ。

解答ト：０

このときの得点なしとなる確率は 表Ｇの赤いマスの和なんだけど、すべての赤いマスは$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で起こるので、
$\displaystyle \frac{1}{6}\left(\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{13}{18}\times 3\right)$

途中式

$=\displaystyle \frac{1}{6}\left(\frac{9}{6}+\frac{13}{6}\right)$
$=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{22}{6}$

$=\displaystyle \frac{11}{18}$
となる。

解答ナ：１, ニ：１, ヌ：１, ネ：８