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数学Ⅰ

数学Ⅱ

大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試数学Ⅱ 第３問 [1] 解説

解説

$\log_{2} x$ の底 $2$ は $1$ より大きいので、
$1 ≦ x ≦ 4$
は
$\log_{2} 1 ≦ \log_{2} x ≦ \log_{2} 4$
とかけるから、
$0 ≦ \log_{2} x ≦ 2$
となる。

この式に
$t = \log_{2} x$ 式Ａ
を代入して、 $t$ の範囲は
$0 ≦ t ≦ 2$ 式Ｂ
である。

解答ア：０, イ：２

$y = \log_{2} x^{4} \cdot \log_{2} \frac{2}{x}$
は
$y = 4 \log_{2} x \cdot (\log_{2} 2 - \log_{2} x)$
$= 4 \log_{2} x \cdot (1 - \log_{2} x)$
と変形できる。

これに式Ａを代入すると
$y = 4 t (1 - t)$ 式Ｃ
$= - 4 t^{2} + 4 t$
と表せる。

解答ウ：－, エ：４, オ：４

式Ｃのグラフは
上に凸の放物線 $0$ ， $1$ で $t$ 軸と交わるだから、図Ａのような状態だ。

図の固定

$t$ の定義域は式Ｂなので、図Ａの緑の範囲。
よって、 $y$ が最大になるのは放物線の頂点（図Ａの赤い点）である。

赤い点の $t$ 座標は、二次関数のグラフが横軸と交わる２点の $t$ 座標
$0$ ， $1$
のちょうど真ん中だから、
$t = \frac{1}{2}$ 式Ｄ
である。

このときの $x$ は、式Ｄを式Ａに代入して、
$\log_{2} x = \frac{1}{2}$
より
$x = 2^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{2}$
となる。

解答カ：１

また、 $y$ の最大値（赤い点の $y$ 座標）は、式Ｄを式Ｃに代入して、
$y = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2})$
$= 1$
である。

解答キ：１