大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試 数学Ⅱ 第３問 [1] 解説
解説
$\log_{2}x$の底$2$は$1$より大きいので、
$1\leqq x\leqq 4$
は
$\log_{2}1\leqq\log_{2}x\leqq\log_{2}4$
とかけるから、
$0\leqq\log_{2}x\leqq 2$
となる。
この式に
$t=\log_{2}x$式Ａ
を代入して、$t$の範囲は
$0\leqq t\leqq 2$式Ｂ
である。
解答ア：０, イ：２
$y=\displaystyle \log_{2}x^{4}\cdot\log_{2}\frac{2}{x}$
は
$y=4\log_{2}x\cdot\left(\log_{2}2-\log_{2}x\right)$
$\phantom{ y } =4\log_{2}x\cdot\left(1-\log_{2}x\right)$
と変形できる。
これに式Ａを代入すると
$y=4t(1-t)$式Ｃ
$\phantom{ y } =-4t^{2}+4t$
と表せる。
解答ウ：－, エ：４, オ：４
式Ｃのグラフは
上に凸の放物線
$0$，$1$で$t$軸と交わる
だから、図Ａのような状態だ。
![大学入学共通テスト2022年追試 数学Ⅱ第３問[1] 解説図Ａ](_image/2_3_1_01.svg)
$t$の定義域は式Ｂなので、図Ａの緑の範囲。
よって、$y$が最大になるのは放物線の頂点（図Ａの赤い点）である。
赤い点の$t$座標は、二次関数のグラフが横軸と交わる２点の$t$座標
$0$，$1$
のちょうど真ん中だから、
$t=\displaystyle \frac{1}{2}$式Ｄ
である。
このときの$x$は、式Ｄを式Ａに代入して、
$\displaystyle \log_{2}x=\frac{1}{2}$
より
$x=2^{\frac{1}{2}}$
$\phantom{ x } =\sqrt{2}$
となる。
解答カ：１
また、$y$の最大値（赤い点の$y$座標）は、式Ｄを式Ｃに代入して、
$y=4\displaystyle \cdot\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)$
$\phantom{ y } =1$
である。
解答キ：１