問題文にある場合分けの
$x\geqq c-{\displaystyle \frac{1}{3}}$式Ａ
を考える。

式Ａを変形すると
$x-c+{\displaystyle \frac{1}{3}}\geqq 0$
より
$3x-3c+1\geqq 0$
となる。

なので、このとき、式①の絶対値の中は$0$以上だから、式①は
$3x-3c+1=(3-\sqrt{3})x-1$②
とかける。

ここまでは問題文に書いてあるので、共通テスト本番では自分で考える必要はない。

②を解いて、

途中式

$3x-(3-\sqrt{3})x=-1+3c-1$
$\sqrt{3}x=3c-2$
$x=\sqrt{3}c-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$
分母を有理化して、

$x=\sqrt{3}c-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$③
である。

解答ア：3, イ：2

これが①の解になるのは、③が式Ａの範囲に含まれるとき。
つまり
$\sqrt{3}c-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\geqq c-{\displaystyle \frac{1}{3}}$
のとき。

これを$c$について整理すると、

途中式

$\sqrt{3}c-c\geqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$
$(\sqrt{3}-1)c\geqq {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-1}{3}}$

この両辺を$\sqrt{3}-1$で割るんだけど、
$1<\sqrt{3}$
より
$0<\sqrt{3}-1$
だから、不等号の向きは変わらない。

よって、
$c\geqq {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-1}{3(\sqrt{3}-1)}}$

分母を有理化して、
$c\geqq {\displaystyle \frac{(2\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{3(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}$
より、

③が解になるのは
$c\geqq {\displaystyle \frac{5+\sqrt{3}}{6}}$
のときである。

解答ウ：2

これを数直線で表すと、図Ａのようになる。

問題文中ふたつめの場合分けの
$x<c-{\displaystyle \frac{1}{3}}$式Ｂ
は、式Ａと不等号が違うだけなので、変形すると
$3x-3c+1<0$
になるはず。

なので、このとき、式①の絶対値の中は負だから、式①は
$-(3x-3c+1)=(3-\sqrt{3})x-1$
より
$-3x+3c-1=(3-\sqrt{3})x-1$④
とかける。

ここまでは問題文に書いてあるので、先ほどと同様に 共通テスト本番では考える必要はない。

④を解くと、

途中式

$(3-\sqrt{3})x+3x=3c-1+1$
$(6-\sqrt{3})x=3c$
$x={\displaystyle \frac{3}{6-\sqrt{3}}}c$
分母を有理化して、
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{3(6+\sqrt{3})}{(6-\sqrt{3})(6+\sqrt{3})}}c\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{3}(6+\sqrt{3})}{{\cancel{33}}^{11}}}c\end{array}$$ より

$x={\displaystyle \frac{6+\sqrt{3}}{11}}c$⑤
となる。

解答エ：6, オ：1, カ：1

これが①の解になるのは、⑤が式Ｂの範囲に含まれるとき。
つまり
${\displaystyle \frac{6+\sqrt{3}}{11}}c<c-{\displaystyle \frac{1}{3}}$
のとき。

これを$c$について整理すると、

途中式

${\displaystyle \frac{1}{3}}<c-{\displaystyle \frac{6+\sqrt{3}}{11}}c$
${\displaystyle \frac{11}{3}}<11c-(6+\sqrt{3})c$
${\displaystyle \frac{11}{3}}<(5-\sqrt{3})c$

この両辺を$5-\sqrt{3}$で割るんだけど、
$\sqrt{3}<5$
より
$0<5-\sqrt{3}$
だから、不等号の向きは変わらない。

よって、
${\displaystyle \frac{11}{3(5-\sqrt{3})}}<c$

分母を有理化して、
${\displaystyle \frac{11(5+\sqrt{3})}{3(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})}}<c$
${\displaystyle \frac{\cancel{11}(5+\sqrt{3})}{3\cdot {\cancel{22}}^2}}<c$
より、

⑤が解になるのは
${\displaystyle \frac{5+\sqrt{3}}{6}}<c$
のときである。

解答キ：5

これを数直線で表すと、図Ｂのようになる。

(1)で考えたように、①の方程式の解の候補は③と⑤の２つあるけど、$c$の値によって解だったり解じゃなかったりする。
それを数直線で表したのが図Ａと図Ｂだった。
ここで、図Ａと図Ｂをひとつの数直線にまとめておく（図Ｃ）。

図Ｃより、

であることが分かる。