大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試数学Ⅱ 第３問 [2] 解説

(1)

最初に、グラフの移動について復習をしておこう。

グラフの移動の復習

平行移動

図Ａのように、グラフ $y = f (x)$ の
$x$ を $(x - p)$ に変えると、グラフは $x$ 軸方向に $p$ 平行移動 $y$ を $(y - q)$ に変えると、グラフは $y$ 軸方向に $q$ 平行移動する。

軸に関して対称移動

図Ｂのように、グラフ $y = f (x)$ の
$x$ を $(- x)$ に変えると、グラフは $y$ 軸に関して対称移動 $y$ を $(- y)$ に変えると、グラフは $x$ 軸に関して対称移動する。
よって、
$x$ を $(- x)$ に、 $y$ を $(- y)$ に変えると、グラフは $y$ 軸と $x$ 軸両方に関して対称移動するから、原点に関して対称になる。

$y = x$ に関して対称移動

図Ｃのように、グラフ $y = f (x)$ の
$x$ と $y$ を入れかえると、グラフは $y = x$ に関して対称移動する。

$\frac{2}{3} = {(\frac{3}{2})}^{- 1}$
なので、
$y = {(\frac{2}{3})}^{x}$
は
$y = {{(\frac{3}{2})}^{- 1}}^{x}$
$= {(\frac{3}{2})}^{- x}$
と変形できる。

この式は、
$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$
の $x$ を $- x$ に変えたもの。

よって、復習より、
$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$ のグラフと $y = {(\frac{2}{3})}^{x}$ のグラフは $y$ 軸に関して対称である。

解答ク：１

さらに、指数と対数の関係について復習だ。

復習

$\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$
（ $0 < a$ ， $0 < b$ ）

復習より
$y = \log_{\frac{3}{2}} x$
は
$x = {(\frac{3}{2})}^{y}$
と変形できる。

この式は、
$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$
の $x$ と $y$ を入れかえたもの。

よって、グラフの移動の復習より、
$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$ のグラフと $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ のグラフは $y = x$ に関して対称である。

解答ケ：２

(2)

せっかくだから、対数関数の形の復習もしておこう。

復習

$y = \log_{a} x$ のグラフは、次のような形だ。

$y = \frac{1}{2}$ のとき、
$y = \log_{25} x$
は
$\frac{1}{2} = \log_{25} x$
とかける。

これを変形すると
$x = 25^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$
となる。

よって、 $y = \log_{25} x$ のグラフは、点
$(5, \frac{1}{2})$
を通る。

解答コ：５

また、 $1 < 25$ なので、 $y = \log_{25} x$ のグラフは復習の右側のグラフのような形だ。

よって、このグラフは
$x$ の値が増加すると $y$ の値も増加する $x = 1$ の１点で $x$ 軸と交わることが分かる。

解答サ：１

$y = \frac{1}{2}$ のとき、
$y = \log_{\frac{1}{4}} x$
は
$\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{4}} x$
とかける。

これを変形すると
$x = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{\frac{1}{4}}$
$= \frac{1}{2}$
となる。

よって、 $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ のグラフは、点
$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
を通る。

解答シ：１, ス：２

また、 $\frac{1}{4} < 1$ なので、 $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ のグラフは復習の左側のグラフのような形だ。

よって、このグラフは
$x$ の値が増加すると $y$ の値は減少する $x = 1$ の１点で $x$ 軸と交わることが分かる。

解答セ：３

まず、 $\frac{1}{2}$ と $\log_{25} \frac{7}{2}$ の大小から考えるんだけど、
コより
$\frac{1}{2} = \log_{25} 5$ 式Ａ
なので、代わりに
$\log_{25} 5$ と $\log_{25} \frac{7}{2}$ を比べよう。

サより、 $y = \log_{25} x$ のグラフは、 $x$ が大きいほど $y$ も大きい。
よって、 $\log_{25} 5$ と $\log_{25} \frac{7}{2}$ は、真数部分が大きい $\log_{25} 5$ の方が大きい値だから、
$\log_{25} \frac{7}{2} < \log_{25} 5$
であることが分かる。

これに式Ａを代入して、
$\log_{25} \frac{7}{2} < \frac{1}{2}$ である。

$\frac{1}{2}$ と $\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ の大小も、同様に
シスより
$\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2}$ 式Ｂ
なので、代わりに
$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2}$ と $\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ を比べよう。

セより、 $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ のグラフは、 $x$ が大きいほど $y$ は小さい。
よって、 $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2}$ と $\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ は、真数部分が大きい $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2}$ の方が小さい値だから、
$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} < \log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$
であることが分かる。

これに式Ｂを代入して、
$\frac{1}{2} < \log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ である。

以上より、３つの数の大小関係は
$\log_{25} \frac{7}{2} < \frac{1}{2} < \log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ である。

解答ソ：３

別解

グラフを使わずに解くと、次のようになる。
こっちの解き方の方が自然かも。

$1 < 25$ なので、
$\frac{7}{2} < 5$
から
$\log_{25} \frac{7}{2} < \log_{25} 5$
とかける。

これに、コで考えた
$\log_{25} 5 = \frac{1}{2}$
を代入すると
$\log_{25} \frac{7}{2} < \frac{1}{2}$ と表せる。

$\frac{1}{4} < 1$ なので、
$\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$
から
$\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8} > \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2}$
とかける。

これに、シスで考えた
$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
を代入すると
$\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8} > \frac{1}{2}$ と表せる。

以上より、３つの数の大小関係は
$\log_{25} \frac{7}{2} < \frac{1}{2} < \log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$ である。

解答ソ：３