単元に分類できないトピック ： 複数単元を含むもの グラフの描き方(1)
例題
次のグラフの概形を描きなさい。
(1) $y=x^{2}-2x$
(2) $y=x^{3}-2x$
(3) $y=x^{3}-2x^{2}$
アドバイス
共通テストに自分でグラフを描く問題は出ない。けれど、グラフが描くとイメージがつかみやすいし、見ながら考えるとミスも減る。グラフが簡単に描けるときには、描いて考えることをお薦めする。
グラフを描くとき、二次関数なら平方完成して頂点を求める、三次以上の関数なら微分するのが普通だけど、おおまかな形だけ分かればいいのであれば、簡単に因数分解できるときは因数分解して描いた方が早い。
みんな知っているテクニックだと思うけど、意外に使えてなかったりするので、念のために復習しておこう。
(1)
$y=x^{2}-2x$
を因数分解すると
$y=x(x-2)$
なので、$x$軸と
$x=0$，$2$
で交わる。
また、$x^{2}$の係数は正なので、下に凸の放物線。
よって、グラフは解答のようになる。
(2)
$y=x^{3}-2x$
を因数分解すると
$y=x(x^{2}-2)$
$y$$=x(x^{2}-\sqrt{2}^{2})$
$y$$=x(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
なので、$x$軸と
$x=0$，$\pm\sqrt{2}$
で交わる。
また、$x^{3}$の係数は正なので、グラフは全体として右上がり。
よって、グラフは解答のようになる。
アドバイス
三次関数のグラフは、
$x^{3}$の係数が正のとき、全体として右上がりの
のような形に、
$x^{3}$の係数が負のとき、全体として右下がりの
のような形になる。
(3)
$y=x^{3}-2x^{2}$
を因数分解すると
$y=x^{2}(x-2)$
なので、$x$軸と
$x=0$，$2$
で共有点をもつ。
このうち、$x=0$は重解なので、グラフは$x$軸に接する。
また、$x^{3}$の係数は正なので、グラフは全体として右上がり。
よって、グラフは解答のようになる。
