である。

また、$P(x)$に$x=i$を代入すると、
$p(i)=i^4-4i^3+4i^2+12i-21$
なので、
$$\begin{array}{rl}p(i)& =1-4(-i)+4\cdot (-1)+12i-21\\ & =1+4i-4+12i-21\\ & =-24+16i\end{array}$$ となる。

解答ウ：－, エ：２, オ：４, カ：１, キ：６

$P(x)$を$Q(x)$で割ると

		$x$	$+2$
$x^3-6x^2+15x-14$	$)$	$x^4$	$-4x^3$	$+4x^2$	$+12x$	$-21$
		$x^4$	$-6x^3$	$+15x^2$	$-14x$
			$2x^3$	$-11x^2$	$+26x$
			$2x^3$	$-12x^2$	$+30x$	$-28$
				$x^2$	$-4x$	$+7$

なので、商は
$x+2$
余り$R(x)$は
$R(x)=x^2-4x+7$式Ａ
となる。

解答ク：４, ケ：７

また、$P(x)$，$Q(x)$，$R(x)$の関係は
$P(x)=Q(x)(x+2)+R(x)$①
と表せる。

解答コ：２

$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$
のとき、①は
$(\alpha +2)\times 0+R(\alpha )=0$
となるから、
$R(\alpha )=0$
だ。

解答サ：０

これを式Ａに代入すると
${\alpha }^2-4\alpha +7=0$
とかける。

このときの$\alpha$は、解の公式より、
$$\begin{array}{rl}\alpha & =\frac{4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}\\ & =2\pm \sqrt{4-7}\\ & =2\pm \sqrt{3}i\mathrm{②}\end{array}$$ である。

解答シ：２, ス：３

ここまでで
$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$であるためには、②でなければならない ことが分かった。

ここからは
②であれば、$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$である が成り立つかどうかを考える。

まず、$Q(x)$を$R(x)$で割る。
クケを求めたときみたいに筆算してもいいんだけど、今はセだけ分かればいいので、時間節約のためにかけ算だ。

$Q(x)=R(x)(x-$セ$)$式Ｂ
の両辺の定数項だけを考える。

$Q(x)=x^3-6x^2+15x-14$
だから、式Ｂの左辺の定数項は
$-14$

$R(x)=x^2-4x+7$
だから、式Ｂの右辺の定数項は
$7\times (-$セ$)$

この２つが等しいので、
$7\times (-$セ$)=-14$
より
セ$=2$
であることが分かる。

解答セ：２

よって
$Q(x)=R(x)(x-2)$
なので、$x$が②の$\alpha$のとき
$Q(\alpha )=(x-2)\times 0$
$\phantom{Q(\alpha )}=0$
である。

さらに、これを①に代入すると
$P(\alpha )=(x+2)\times 0+0$
$\phantom{P(\alpha )}=0$
となる。

したがって、
②であれば、$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$である ことが分かる。

$S(x)$，$T(x)$を使って、(2)と同様の作業をする。

$S(x)=T(x)x+x^2+\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}$式Ｃ
は
$x^2+\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}=S(x)-T(x)x$
と変形できる。

これに$S(x)$，$T(x)$を代入すると、
$$\begin{array}{rl}{x}^2+\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}& =x^4+2x^3+4x^2+3x+3\\ & -(x^3+2x^2+3x+1)x\\ & =x^4+2x^3+4x^2+3x+3\\ & -(x^4+2x^3+3x^2+x)\\ & =x^2+2x+3\end{array}$$ となる。

解答タ：２, チ：３

したがって、$S(x)$を$T(x)$で割った余りを$U(x)$とすると、
$U(x)=x^2+2x+3$
であり、式Ｃは
$S(x)=T(x)x+U(x)$式Ｃ'
とかける。

$S(\beta )=T(\beta )=0$のとき、式Ｃ'は
$0\times \beta +U(\beta )=0$
となるので、$U(\beta )$は必ず$0$だ。

よって、
$S(\beta )=T(\beta )=0$であるためには、$U(\beta )=0$でなければならない ことになる。

ここで、$T(x)$を$U(x)$で割ると、

		$x$
$x^2+2x+3$	$)$	$x^3$	$+2x^2$	$+3x$	$+1$
		$x^3$	$+2x^2$	$+3x$
					$1$

なので、
$T(x)=U(x)x+1$
と表せる。

よって、
$U(\beta )=0$のとき、$T(x)=0$にはならない ことになる。