大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 追試数学Ⅰ 第３問 [1] 解説

(1)

$p$ を $0$ でない実数として、
$f (x) = p x^{2} + 2 p x + p^{2} - 3 p + 2$
を考える。

$f (1)$ は、 $f (x)$ の式に $x = 1$ を代入して、
$f (1) = p \cdot 1^{2} + 2 p \cdot 1 + p^{2} - 3 p + 2$
$= p^{2} + 2$
である。

解答ア：２

イウを求める前に、解の公式の利用法について復習しておこう。

復習

復習の青い部分を使うと、放物線 $y = f (x)$ の軸は
$x = \frac{- 2 p}{2 \cdot p}$
$= - 1$
であることが分かる。

解答イ：－, ウ：１

別解

平方完成で解くと、次のようになる。

$f (x)$ の式を平方完成して、
$f (x) = p (x^{2} + 2 x) + p^{2} - 3 p + 2$

途中式

= p (x^{2} + 2 x + 1 - 1) + p^{2} - 3 p + 2

= p {(x + 1)^{2} - 1} + p^{2} - 3 p + 2

= p (x + 1)^{2} - p + p^{2} - 3 p + 2

= p (x + 1)^{2} + p^{2} - 4 p + 2

より、放物線

y = f (x)

の軸は

x = - 1

である。

解答イ：－, ウ：１

以上より、 $y = f (x)$ のグラフは図Ａのような状態であることが分かる。

図の固定

二次関数のグラフは放物線の軸に関して対称なので、図Ａのように、エオと $1$ の真ん中が放物線の軸 $x = - 1$ だ。
つまり、エオと $1$ の平均は $- 1$ である。

なので、
エオ $+ 1$ $2$ $= - 1$
より
エオ $+ 1 = - 2$
エオ $= - 3$
である。

解答エ：－, オ：３

別解

エオについては、こんな計算方法もある。

エオと $- 1$ と $1$ は等間隔なので、
$- 1 -$ エオ $= 1 - (- 1)$
とかける。

よって、
エオ $= - 1 - {1 - (- 1)}$
$= - 3$
である。

解答エ：－, オ：３

(2)

次は、二次方程式の解の範囲の問題。

方程式 $f (x) = 0$ の解は、 $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標と等しい。

なので、ここで問われている
$f (x) = 0$ が $1$ より小さい異なる２つの実数解をもつは
$x = 1$ を境目として、 $y = f (x)$ と $x$ 軸が境目より左の異なる２点で交わると言いかえられる。

よって、この問題は、二次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の位置の問題として考えられる。

このタイプの問題は決まった解き方をするので憶えておこう。

復習：このタイプの問題の解き方

放物線と $x$ 軸との共有点が問題の条件に合うグラフを描いて、
$x$ 軸との共有点の個数を考える条件Ａ境目（この問題では $x = 1$ ）のときのグラフの $y$ 座標が正か負かを考える条件Ｂ放物線の軸が境目よりも右にあるか左にあるかを考える条件Ｃの３つの条件すべてを満たす範囲（この問題では $p$ の範囲）を求める。

この問題の条件に合うグラフは、図Ｂのどちらか。

図の固定

以下、図Ｂの２つのグラフを、復習の考え方でひとつずつ検討する。

$p < 0$ のとき

まず、 $p < 0$ のとき、つまり図Ｂの左のグラフになる場合から。

図Ｂの左のグラフであるためには、境目の $x = 1$ のときに $y < 0$ でないといけない（復習の条件Ｂ）。
式にすると
$f (1) < 0$ 式Ａ
でなければならない。

ところが、アを求めたときに気づいたかも知れないけれど、
$f (1) = p^{2} + 2$
だから、
$f (1) > 0$ 式Ｂ
だ。

詳しく

p \neq 0

より

p^{2} > 0

なので、

p^{2} + 2 > 2

とかける。
よって、

f (1) > 2

だと言えるけど、この問題では

f (1) > 0

が分かれば十分なので、式Ｂでは

f (1) > 0

式Ｂ
とした。

なので、式Ａは成り立たないから、 $y = f (x)$ のグラフが図Ｂの左のような状態になることはない。
よって、 $p < 0$ のとき、 $f (x) = 0$ が１より小さい異なる２つの実数解をもつことはない。

$0 < p$ のとき

次に、 $0 < p$ のとき、つまり図Ｂの右のグラフになるときの、復習の３つの条件を考える。

条件Ａ

$y = f (x)$ のグラフは $x$ 軸と異なる２点で交わるので、 $f (x)$ の判別式は正だから、
$(2 p)^{2} - 4 p (p^{2} - 3 p + 2) > 0$
でなければならない。

これを整理すると

途中式

p^{2} - p (p^{2} - 3 p + 2) > 0

- p^{2} + p (p^{2} - 3 p + 2) < 0

p (- p + p^{2} - 3 p + 2) < 0

p (p^{2} - 4 p + 2) < 0

となる。

今は $0 < p$ のときを考えているので、上の式が成り立つためには、赤い部分が負であればよい。
つまり
$p^{2} - 4 p + 2 < 0$ 式Ｃ
であればよい。

式Ｃの左辺は因数分解出来ないので、解の公式だ。
$p^{2} - 4 p + 2 = 0$
となる $p$ は、解の公式より
$p = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
$= \frac{4 \pm \sqrt{4 (4 - 2)}}{2}$
$= 2 \pm \sqrt{2}$
だから、式Ｃを満たす、つまり条件Ａを満たす $p$ の範囲は
$2 - \sqrt{2} < p < 2 + \sqrt{2}$ 式Ｄである。

条件Ｂ

図Ｂの右のグラフを見ると、境目の $x = 1$ のとき
$y > 0$
なので、条件Ｂを表す式は
$f (1) > 0$
とかけるけど、式Ｂよりこれは必ず成り立つ。

よって条件Ｂは必ず成り立つ。

条件Ｃ

図Ｂの右のグラフを見ると、放物線の軸は境目の $x = 1$ よりも左になければならない。

イウより、放物線の軸は
$x = - 1$
だったけど、これが $x = 1$ より左にあるのは明らか。

よって条件Ｃも必ず成り立つ。

以上より、復習の３つの条件と場合分けの $0 < p$ を数直線に表すと、図Ｃのようになる。
必ず成り立つ条件Ｂ，条件Ｃは省略してある。
図Ｃで、場合分けと条件Ａが重なる赤い部分が求める $p$ の範囲だ。

図の固定

図Ｃより、求める $p$ の範囲は、式Ｄと同じ $2 - \sqrt{2} < p < 2 + \sqrt{2}$ 式Ｄである。

解答カ：２, キ：２

(3)

(3)で求めるのは、方程式 $f (x) = 0$ が
$1$ より小さい２つの異なる実数解をもち、① ひとつの解は正、もうひとつは負② であるような $p$ の範囲だ。

このうち、①を満たす $p$ の範囲は、(2)で求めたように
$2 - \sqrt{2} < p < 2 + \sqrt{2}$ 式Ｄだった。

なので、②を満たす $p$ の範囲が分かれば、それと式Ｄの重なる範囲がクケである。

ということで②を考えるんだけど、(2)の作業から、 $p < 0$ の場合には①を満たさないことが分かっている。
よって、 $0 < p$ のときだけを考えよう。

②をグラフでいうと、放物線 $f = f (x)$ が、 $y$ 軸の左右で $x$ 軸と交わる場合。
図にすると、図Ｄのような場合だ。
$0 < p$ のときだけを考えるので、放物線は下に凸である。

図Ｄのようなグラフになるためには、放物線と $y$ 軸が $y < 0$ の部分で交わればよい。

図の固定

なので
$f (0) < 0$
であればよいから、
$p^{2} - 3 p + 2 < 0$
とかける。

これを解いて、
$(p - 1) (p - 2) < 0$
より、②を満たす $p$ の範囲は
$1 < p < 2$
となる。

以上より、①，②を満たす $p$ の範囲を数直線に表すと、図Ｅができる。

図の固定

図Ｅより、求める ①，②をともに満たす $p$ の範囲は、赤線部分の
$1 < p < 2$
である。

解答ク：１, ケ：２

(4)

最後は、方程式 $f (x) = 0$ の解の存在範囲を答える問題。
解説は長いけれど、やっていることは大したことないので頑張ってついてきてほしい。

まず $1 < β$ から片付けよう。

図の固定

イウより、放物線の軸は $x = - 1$ なので、 $1 < β$ のときの $y = f (x)$ のグラフは、図Ｆのどちらか。

だけど、式Ｂで、 $p$ の値にかかわらず
$f (1) > 0$ 式Ｂ
であることが分かっているから、図Ｆの右のグラフは不適だ。

また、図Ｆの左のグラフ（ $p < 0$ ）のときは、
$f (1) > 0$ 式Ｂ
なので、 $y = f (x)$ と $x$ 軸は $1 < x$ の部分で必ず交わる。
したがって、必ず
$1 < β$
となるから、問題の条件に合う。

そのため、 $p < 0$ の場合だけを考える。

式Ｂより $f (1) > 0$ エオより $f (- 3) = f (1)$ なので、
$f (- 3) > 0$
だ。

よって、 $p < 0$ のときの $y = f (x)$ のグラフを描くと図Ｇのようになる。
$y = f (x)$ と $x$ 軸との交点のうち、 $x$ 座標が $α$ の方を点Ａとする。

図の固定

$p$ の値が変われば点Ａの位置は変わるけど、図Ｇより、 $p$ の値にかかわらず点Ａは $x = - 3$ より左にある。
つまり、 $p$ の値に関係なくつねに
$α < - 3$
だ。

この両辺を $2$ 倍すると
$2 α < - 6$
だから、
$- 6$ は $m$ である。

これをそのまま
コサ $= - 6$
と早合点してはいけない。
問われているのは $m$ の最小値だ。

詳しく

m

は整数だけど、ひとつの値じゃなくて、整数の集合だと考えよう。
例えば、図Ｇを見ると

α < - 1

なので

2 α < - 2

α < 0

なので

2 α < 0

α < 1

なので

2 α < 2

だから、

- 2

も

0

も

2

も

m

だし、もっと他にも

m

はたくさんある。
ここで問われているのは、たくさんある

m

の中で一番小さい数だ。

というわけで、 $- 6$ より小さい $m$ を探す。

回答欄はコサで、コにはマイナスが入るから、答えの候補は
$- 6$ ， $- 7$ ， $- 8$ ， $- 9$
の４つしかない。
このうち $- 6$ が $m$ であるのは分かっているので、 $m$ かどうか分からないのは残りの３つだ。
わずか３つだし、考えるよりも手を動かした方が早い。
ひとつずつ確認しよう。

$- 7$

$- 7$ が $m$ に含まれるなら、 $p$ の値に関係なくつねに
$2 α < - 7$
なので
$α < - \frac{7}{2}$
だ。

このとき、 $y = f (x)$ は $x = - \frac{7}{2}$ より左で $x$ 軸と交わるから、 $p$ の値に関係なくつねに
$0 < f (- \frac{7}{2})$ 式Ｅでないといけない。

$f (- \frac{7}{2})$ は、 $y = f (x)$ に $x = - \frac{7}{2}$ を代入して、

途中式

f (- \frac{7}{2}) = p {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2 p (- \frac{7}{2}) + p^{2} - 3 p + 2

= \frac{49}{4} p - 7 p + p^{2} - 3 p + 2

= p^{2} + (\frac{49}{4} - 7 - 3) p + 2

より

f (- \frac{7}{2}) = p^{2} + \frac{9}{4} p + 2

式Ｆ
である。

式Ｆを平方完成すると

途中式

f (- \frac{7}{2}) = p^{2} + \frac{9}{4} p + {(\frac{9}{8})}^{2} - {(\frac{9}{8})}^{2} + 2

= {(p + \frac{9}{8})}^{2} + \frac{- 9^{2} + 2 \cdot 8^{2}}{8^{2}}

より

f (- \frac{7}{2}) = {(p + \frac{9}{8})}^{2} + \frac{47}{8^{2}}

となるから、

p

の値に関係なくつねに式Ｅは成り立つ。

この部分の別解

式Ｆの判別式 $D$ は

途中式

D = {(\frac{9}{4})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

= \frac{81}{16} - 8

より

D < 0

なので、

p

がどんな値をとっても

f (- \frac{7}{2}) = 0

にはならない。

つまり、 $p$ の値にかかわらず
$f (- \frac{7}{2}) > 0$ または $f (- \frac{7}{2}) < 0$
のどちらかだけど、式Ｆの $p$ に何か適当な値を代入すると
$f (- \frac{7}{2}) > 0$
だから、 $p$ の値にかかわらず $f (- \frac{7}{2}) > 0$ であることが分かる。

したがって、 $p$ の値に関係なくつねに式Ｅは成り立つ。

よって、
$- 7$ は $m$ である。

$- 8$

$- 8$ が $m$ に含まれるなら、 $p$ の値に関係なくつねに
$2 α < - 8$
なので
$α < - 4$
だ。

このとき、 $y = f (x)$ は $x = - 4$ より左で $x$ 軸と交わるから、 $p$ の値に関係なくつねに
$0 < f (- 4)$ 式Ｇでないといけない。

$f (- 4)$ は、 $y = f (x)$ に $x = - 4$ を代入して、

途中式

f (- 4) = p (- 4)^{2} + 2 p (- 4) + p^{2} - 3 p + 2

= 16 p - 8 p + p^{2} - 3 p + 2

より

f (- 4) = p^{2} + 5 p + 2

となる。

この式の判別式 $D$ は
$D = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 > 0$
だから、 $p$ の値によっては $f (- 4) = 0$ となることがある。
したがって、 $p$ の値に関係なくつねに式Ｇが成り立つわけではない。

よって、
$- 8$ は $m$ ではない。

$- 9$

$- 8$ での作業より、点Ａは $x = - 8$ より必ず左にあるわけではない。
よって、点Ａは $x = - 9$ より必ず左にあるわけではないから、
$- 9$ も $m$ ではない。

以上より、 $m$ の最小値コサは
コサ $= - 7$
である。

解答コ：－, サ：７

(1)

復習

別解

別解

(2)

復習：このタイプの問題の解き方

p<0のとき

0<pのとき

(3)

(4)

$p < 0$ のとき

$0 < p$ のとき