$p$を$0$でない実数として、
$f(x)=px^{2}+2px+p^{2}-3p+2$
を考える。

$f(1)$は、$f(x)$の式に$x=1$を代入して、
$f(1)=p\cdot 1^{2}+2p\cdot 1+p^{2}-3p+2$
$\phantom{ f(1) } =p^{2}+2$
である。

解答ア：２

イウを求める前に、解の公式の利用法について復習しておこう。

復習

復習の青い部分を使うと、放物線$y=f(x)$の軸は
$x=\displaystyle \frac{-2p}{2\cdot p}$
$\phantom{ x } =-1$
であることが分かる。

解答イ：－, ウ：１

以上より、$y=f(x)$のグラフは図Ａのような状態であることが分かる。

図の固定

二次関数のグラフは放物線の軸に関して対称なので、図Ａのように、エオと$1$の真ん中が放物線の軸$x=-1$だ。
つまり、エオと$1$の平均は$-1$である。

なので、
エオ$+1$ $2$ $=-1$
より
エオ$+1=-2$
エオ$=-3$
である。

解答エ：－, オ：３

次は、二次方程式の解の範囲の問題。

方程式$f(x)=0$の解は、$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標と等しい。

なので、ここで問われている
$f(x)=0$が$1$より小さい異なる２つの実数解をもつ は
$x=1$を境目として、$y=f(x)$と$x$軸が境目より左の異なる２点で交わる と言いかえられる。

よって、この問題は、二次関数のグラフと$x$軸の共有点の位置の問題として考えられる。

このタイプの問題は 決まった解き方をするので憶えておこう。

この問題の条件に合うグラフは、図Ｂのどちらか。

図の固定

以下、図Ｂの２つのグラフを、復習の考え方で ひとつずつ検討する。

$p \lt 0$のとき

まず、$p \lt 0$のとき、つまり図Ｂの左のグラフになる場合から。

図Ｂの左のグラフであるためには、境目の$x=1$のときに$y \lt 0$でないといけない（復習の条件Ｂ）。
式にすると
$f(1) \lt 0$式Ａ
でなければならない。

ところが、アを求めたときに気づいたかも知れないけれど、
$f(1)=p^{2}+2$
だから、
$f(1) \gt 0$式Ｂ
だ。

なので、式Ａは成り立たないから、$y=f(x)$のグラフが図Ｂの左のような状態になることはない。
よって、$p \lt 0$のとき、$f(x)=0$が１より小さい異なる２つの実数解をもつことはない。

$0 \lt p$のとき

次に、$0 \lt p$のとき、つまり図Ｂの右のグラフになるときの、復習の３つの条件を考える。

以上より、復習の３つの条件と 場合分けの$0 \lt p$を数直線に表すと、図Ｃのようになる。
必ず成り立つ条件Ｂ，条件Ｃは省略してある。
図Ｃで、場合分けと条件Ａが重なる赤い部分が求める$p$の範囲だ。

図の固定

図Ｃより、求める$p$の範囲は、式Ｄと同じ $2-\sqrt{2} \lt p \lt 2+\sqrt{2}$式Ｄ である。

解答カ：２, キ：２

(3)で求めるのは、方程式$f(x)=0$が
$1$より小さい２つの異なる実数解をもち、① ひとつの解は正、もうひとつは負② であるような$p$の範囲だ。

このうち、①を満たす$p$の範囲は、(2)で求めたように
$2-\sqrt{2} \lt p \lt 2+\sqrt{2}$式Ｄ だった。

なので、②を満たす$p$の範囲が分かれば、それと式Ｄの重なる範囲がクケである。

ということで②を考えるんだけど、(2)の作業から、$p \lt 0$の場合には①を満たさないことが分かっている。
よって、$0 \lt p$のときだけを考えよう。

②をグラフでいうと、放物線$f=f(x)$が、$y$軸の左右で$x$軸と交わる場合。
図にすると、図Ｄのような場合だ。
$0 \lt p$のときだけを考えるので、放物線は下に凸である。

図Ｄのようなグラフになるためには、放物線と$y$軸が$y \lt 0$の部分で交わればよい。

図の固定

なので
$f(0) \lt 0$
であればよいから、
$p^{2}-3p+2 \lt 0$
とかける。

これを解いて、
$(p-1)(p-2) \lt 0$
より、②を満たす$p$の範囲は
$1 \lt p \lt 2$
となる。

以上より、①，②を満たす$p$の範囲を数直線に表すと、図Ｅができる。

図の固定

図Ｅより、求める ①，②をともに満たす$p$の範囲は、赤線部分の
$1 \lt p \lt 2$
である。

解答ク：１, ケ：２

最後は、方程式$f(x)=0$の解の存在範囲を答える問題。
解説は長いけれど、やっていることは大したことないので 頑張ってついてきてほしい。

まず$ 1 \lt \beta$から片付けよう。

図の固定

イウより、放物線の軸は$x=-1$なので、$ 1 \lt \beta$のときの$y=f(x)$のグラフは、図Ｆのどちらか。

だけど、式Ｂで、$p$の値にかかわらず
$f(1) \gt 0$式Ｂ
であることが分かっているから、図Ｆの右のグラフは不適だ。

また、図Ｆの左のグラフ（$p \lt 0$）のときは、
$f(1) \gt 0$式Ｂ
なので、$y=f(x)$と$x$軸は$1 \lt x$の部分で必ず交わる。
したがって、必ず
$1 \lt \beta$
となるから、問題の条件に合う。

そのため、$p \lt 0$の場合だけを考える。

$p$の値が変われば点Ａの位置は変わるけど、図Ｇより、$p$の値にかかわらず 点Ａは$x=-3$より左にある。
つまり、$p$の値に関係なくつねに
$\alpha \lt -3$
だ。

この両辺を$2$倍すると
$2\alpha \lt -6$
だから、
$-6$は$m$である。

これをそのまま
コサ$=-6$
と早合点してはいけない。
問われているのは$m$の最小値だ。

というわけで、$-6$より小さい$m$を探す。

回答欄はコサで、コにはマイナスが入るから、答えの候補は
$-6$，$-7$，$-8$，$-9$
の４つしかない。
このうち $-6$が$m$であるのは分かっているので、$m$かどうか分からないのは残りの３つだ。
わずか３つだし、考えるよりも手を動かした方が早い。
ひとつずつ確認しよう。