最初に、三角比の拡張の復習から。

復習

原点から角度$\theta$で直線$\ell$を引く。
このとき、$\ell$と
単位円との交点の
$y$座標が$\sin \theta$ $x$座標が$\cos \theta$ 直線$x=1$との交点の
$y$座標が$\tan \theta$

だった。

いま、$\theta$の定義域は
$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$
なので、$\theta$の範囲は図Ａの緑の部分。

問われているのは
$\tan \theta =-\sqrt{3}$
のときなので、$\theta$は図Ａの赤い直線が表す角度。

よって、図Ａより、
${\displaystyle \theta =-\frac{\pi }{3}}$
である。

解答テ：０

したがって、 ${\displaystyle \cos \theta =\cos (-\frac{\pi }{3})}$
${\displaystyle \phantom{\cos \theta }=\frac{1}{2}}$ ${\displaystyle \sin \theta =\sin (-\frac{\pi }{3})}$
${\displaystyle \phantom{\sin \theta }=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ となる。

解答ト：７, ナ：４

さらに、三角比の相互関係の復習をしよう。

復習

${\displaystyle \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$式Ａ ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ $1+{\displaystyle {\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }}$式Ｂ

$\tan \theta =k$のとき、式Ｂより、
$1+k^2={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}$
とかける。

これを$\cos \theta$について解くと、
${\displaystyle {\cos }^2\theta =\frac{1}{1+k^2}}$
${\displaystyle \cos \theta =\pm \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}}$式Ｃ
となる。

いま、$\theta$の定義域は
$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$
なので、
$0<\cos \theta$
だ。

よって、式Ｃのうち
${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}}$
は不適。

求める$\cos \theta$は
${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}}$
である。

解答ニ：８

この式と $\tan \theta =k$ を式Ａに代入すると
$k={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}}}$
とかける。

これを$\sin \theta$について解いて、
${\displaystyle \sin \theta =k\times \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}}$
$\phantom{\sin \theta }{\displaystyle =\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}}$
である。

解答ヌ：ａ

まず、$p$から。

２倍角の公式より

公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

なので、$p$は
$p={\displaystyle \frac{2\sin \theta \cos \theta }{\cos \theta }}$
$\phantom{p}=2\sin \theta$式Ｄ
と表せる。

いま、$\theta$の定義域は
$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$
なので、
$-1\leqq \sin \theta \leqq 1$
より
$-2\leqq 2\sin \theta \leqq 2$
とかける。

これに式Ｄを代入して、$p$の範囲は
$-2\leqq p\leqq 2$
である。

解答ネ：２

次に、$q$だ。

加法定理より
${\displaystyle \sin (\theta +\frac{\pi }{7})=\sin \theta \cos \frac{\pi }{7}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{7}}$
なので、$q$は
$q={\displaystyle \frac{\sin \theta \cos \frac{\pi }{7}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{7}}{\cos \theta }}$
$\phantom{q{\displaystyle }}{\displaystyle =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\cdot \cos \frac{\pi }{7}+\sin \frac{\pi }{7}}$
$\phantom{q{\displaystyle }}{\displaystyle =\tan \theta \cos \frac{\pi }{7}+\sin \frac{\pi }{7}}$式Ｅ
と表せる。

ここで
$\tan \theta =x$
とおくと、式Ｅは
$q={\displaystyle (\cos \frac{\pi }{7})x+\sin \frac{\pi }{7}}$式Ｅ'
とかける。

${\displaystyle \cos \frac{\pi }{7}}$も${\displaystyle \sin \frac{\pi }{7}}$も正の定数なので、式Ｅ'は一次関数で、そのグラフは図Ｂのようになる。

いま、$\tan \theta$の範囲はすべての実数。
つまり、図Ｂの$x$の範囲はすべての実数だ。
このとき、$q$の範囲もすべての実数である。

解答ノ：４

(2)と同様に考えると、$r$の式は
$r=\tan \theta \cos \alpha +\sin \alpha$式Ｆ
と表せる。

今回も
$\tan \theta =x$
とおくと、式Ｆは
$r=(\cos \alpha )x+\sin \alpha$式Ｆ'
とかける。

いま、
$0\leqq \alpha <2\pi$
より
$-1\leqq \cos \alpha \leqq 1$
なので、式Ｆ'のグラフは、
$-1\leqq \cos \alpha <0$のとき、右下がりの直線 $\cos \alpha =0$のとき、$r=\sin \alpha$ $0<\cos \alpha \leqq 1$のとき、右上がりの直線 となる。

よって、$r$のとり得る値は、
$\cos \alpha =0$のとき、$\sin \alpha$ それ以外のとき、すべての実数 である。

以上より、$r$の範囲が$q$の範囲と異なるのは
$\cos \alpha =0$
のとき。

$\alpha$の定義域は
$0\leqq \alpha <2\pi$
なので、$\cos \alpha =0$となる$\alpha$、つまり $r$の範囲が$q$の範囲と異なる$\alpha$は
${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{2}}$，${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$
の２個存在する。

解答ハ：２