最初に二項分布の復習をしておく。

今回の問題では、
試行回数は$72$ ２個のさいころを投げて 両方とも１の目が出る確率は
${\displaystyle \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}}$ なので、復習より、$X$は 二項分布
${\displaystyle B(72,\frac{1}{36})}$
に従う。

解答ア：７, イ：２, ウ：１, エ：３, オ：６

このとき、$X=r$である確率$P(X=r)$は、反復試行の確率なので
${\displaystyle P(X=r)={}_{72}{\mathrm{C}}_r{\left(\frac{1}{36}\right)}^r{(1-\frac{1}{36})}^{72-r}}$
とかける。

$72=k$，${\displaystyle \frac{1}{36}=p}$とおくと、この式は
$P(X=r)={}_k{\mathrm{C}}_r{p}^r(1-p{)}^{k-r}$①
と表せる。

解答カ：２

また、復習より、$X$の

である。

この試行を行った生徒は$21$人。
問題文中の表より、２回とも１の目が出た回数が
$0$回だった生徒は$2$人なので、確率は
${\displaystyle \frac{2}{21}}$ $1$回だった生徒は$7$人なので、確率は
${\displaystyle \frac{7}{21}=\frac{1}{3}}$ $2$回だった生徒も$7$人なので、確率は
${\displaystyle \frac{1}{3}}$ $3$回だった生徒は$3$人なので、確率は
${\displaystyle \frac{3}{21}=\frac{1}{7}}$ $4$回だった生徒は$2$人なので、確率は
${\displaystyle \frac{2}{21}}$ $0$～$4$回の確率の和は、すべての確率の和なので
$1$ となる。

この計算結果から、この試行における ２回とも１の目が出た回数を確率変数$Y$とすると、表Ａの確率分布表ができる。

解答サ：１, シ：７, ス：１

また、$Y$の平均$E(Y)$は、問題文中の度数分布表より
$E(Y)={\displaystyle \frac{0\times 2+1\times 7+2\times 7+3\times 3+4\times 2}{21}}$
$\phantom{E(Y){\displaystyle }}{\displaystyle =\frac{38}{21}}$
である。

解答セ：３, ソ：８, タ：２, チ：１

別解

表Ａの確率分布表から計算すると、$E(Y)$は次のようになる。

$E(Y)=0{\displaystyle \times \frac{2}{21}+1\times \frac{1}{3}+2\times \frac{1}{3}}$
${\displaystyle +3\times \frac{1}{7}+4\times \frac{2}{21}}$
$\phantom{E(Y)}{\displaystyle =\frac{38}{21}}$

解答セ：３, ソ：８, タ：２, チ：１

$P(Z=r)={\displaystyle \alpha \cdot \frac{2^r}{r!}}$   $(r=0$，$1$，$2$，$3$，$4)$
なので、それぞれの確率は

となる。

このすべての確率の和は$1$なので、
${\displaystyle \alpha +2\alpha +2\alpha +\frac{4}{3}\alpha +\frac{2}{3}\alpha =1}$
より

途中式

$3\alpha +6\alpha +6\alpha +4\alpha +2\alpha =3$
$21\alpha =3$

${\displaystyle \alpha =\frac{1}{7}}$
でなければならない。

解答ツ：１, テ：７

以上より、それぞれの確率に${\displaystyle \alpha =\frac{1}{7}}$を代入して 確率変数$Z$の確率分布表を書くと、次のようになる。

このとき
$E(Z)=E(Y)$ $P(Z=r)$，$P(Y=r)$ともに$r=1$，$2$で最大で、
$P(Z=1)=P(Z=2)$ $P(Y=1)=P(Y=2)$ なので、$Z$と$Y$の確率分布は近似していると考え、以下では確率変数$Y$の代わりに確率変数$Z$を用いる。

まず、標本平均の期待値（平均）と標準偏差の復習から。

復習

母平均$E(Z)$，母標準偏差$\sigma (Z)$の母集団から大きさ$n$の標本を無作為に取り出すとき、標本平均$\bar{W}$の
期待値（平均）$E(\bar{W})=E(Z)$ 分散$V({\displaystyle \bar{W})=\frac{\sigma (Z{)}^2}{n}}$ 標準偏差${\displaystyle \sigma (\bar{W})=\frac{\sigma (Z)}{\sqrt{n}}}$ である。

いま、
母平均は
$E(Z)={\displaystyle \frac{38}{21}}$ 母標準偏差は
$\sigma (Z)$ 標本の大きさは
$n$ だ。

なので、復習より、$\bar{W}$の

となる。

さらに、標本平均の分布について復習する。

復習

母平均$m$，母標準偏差$\sigma (Z)$の母集団から大きさ$n$の標本を取り出す。
このとき、標本平均は
母集団が正規分布に従うときには $n$の値にかかわらす完全に、 母集団がその他の分布のときには $n$が大きければ近似的に、 正規分布
${\displaystyle N(m,\frac{\sigma (Z{)}^2}{n})}$
に従う。

式Ａより
${\displaystyle \frac{\sigma (Z)}{\sqrt{n}}=s}$
なので、$n$が十分に大きいとき、$\bar{W}$は近似的に正規分布
$N(m,s^2)$
に従う。

また、式Ａより、分散$s^2$は
$s^2={\displaystyle \frac{\sigma (Z{)}^2}{n}}$
だけど、${\displaystyle \sigma (Z)=\frac{\sqrt{614}}{21}}$で一定なので、$n$が大きくなると$s^2$は小さくなる。

解答ノ：０

ここで、正規分布の度数分布図の復習をしておく。

これだけだとイメージしにくいだろうから、図を載せてみる。

いま
$m={\displaystyle \frac{38}{21}}$
なので、$P(\bar{W}\geqq 2)$は、図Ｄの赤い部分の面積。

分散の正の平方根が標準偏差なので、分散が小さいほど標準偏差も小さい。
図Ｄのように、標準偏差が小さいほど、赤い部分の面積も小さい。

以上をまとめると、

$n$が大きくなる
     ↓
$s^2$（分散）が小さくなる
     ↓
$s$（標準偏差）が小さくなる
     ↓
図Ｄの赤い部分の面積が小さくなる
     ↓
$P(\bar{W}\geqq 2)$が小さくなる

ことが分かる。

解答ハ：０

次に、
$N(m,s^2)$に従う確率変数$\bar{W}$
を
$N(0,1)$に従う確率変数$U$
に変換する。
平均を$0$，標準偏差を$1$に変換するので、標準化だ。

復習

もとの確率変数を$A$とし、
$A$の平均を$m$ $A$の標準偏差を$\sigma$ 変換後の標準化された確率変数を$B$ とすると、変換式は
$B={\displaystyle \frac{A-m}{\sigma }}$
である。

いま、$\bar{W}$の
平均は$m$ 標準偏差は$s$ なので、復習より、変換式は
$U={\displaystyle \frac{\bar{W}-m}{s}}$式Ｂ
となる。

解答ヒ：４

これを使って、$n=100$のときの
$P(\bar{W}\geqq 2)$
を求める。

$n=100$のとき、$\bar{W}$の標準偏差$s$は、式Ａに
${\displaystyle \sigma (Z)=\frac{\sqrt{614}}{21}}$ $n=100$ を代入して、
$s={\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{614}}{21}}{\sqrt{100}}}$
$\phantom{s{\displaystyle }}{\displaystyle =\frac{\sqrt{614}}{210}}$

トナニヌより、$\bar{W}$の平均$m$は
$m={\displaystyle \frac{38}{21}}$

よって、$n=100$のとき、$\bar{W}$は 正規分布
${\displaystyle N(\frac{38}{21},{\left(\frac{\sqrt{614}}{210}\right)}^2)}$
に従うから、求める確率
$P(\bar{W}\geqq 2)$
は、図Ｅの赤い部分の面積にあたる。

赤い部分の面積は正規分布表を使って求めるんだけど、正規分布表に載っているのは
平均が$0$ 標準偏差が$1$ の標準正規分布$N(0,1)$。
図Ｅの曲線は
平均が${\displaystyle \frac{38}{21}}$ 標準偏差が${\displaystyle \frac{\sqrt{614}}{210}}$ の正規分布なので、このままでは正規分布表は使えない。
なので、式Ｂを使って図Ｅを標準化して、
$N(0,1)$
にそろえよう。

標準化すると、平均は$0$，標準偏差は$1$になる。
よって、図Ｅ中の
${\displaystyle \frac{38}{21}}$を標準化すると$0$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{614}}{210}}$を標準化すると$1$ になる。

以上より、図Ｅを標準化すると図Ｆができる。

図Ｅを標準化したものが図Ｆなので、ふたつの図の赤い部分の面積は等しい。
なので、
$P(\bar{W}\geqq 2)$
を求める代わりに
$P(U\geqq 1.60)$
を求める。

正規分布表で$1.60$を探すと、
$0.4452$
とあるけど、これは図Ｆの緑の面積。

赤$+$緑$=0.5$
なので、求める赤い面積$P(U\geqq 1.60)$は、
$P(U\geqq 1.60)=0.5-0.4452$
$\phantom{P(U\geqq 1.60)}=0.0548$
$\phantom{P(U\geqq 1.60)}\doteqdot 0.055$
となる。

以上より、
$P(\bar{W}\geqq 2)=0.055$式Ｃ
である。

解答フ：０, ヘ：５, ホ：５

いま
$E(X)=2$
なので、式Ｃより
$P(\bar{W}\geqq E(X))=0.055$式Ｄ
といえる。

また、$E(\bar{W})$は$\bar{W}$の平均なので、
$P(\bar{W}\geqq E(\bar{W}))=0.5$式Ｅ
である。

詳しく

$P(\bar{W}\geqq E(\bar{W}))$ は、正規分布で平均以上になる確率なので、
${\displaystyle \frac{1}{2}=0.5}$
である。
確率分布図でいうと、図Ｅの斜線部分の面積にあたる。

$E(X)$と$E(\bar{W})$を等しいとみなせるのなら
式Ｄ$\doteqdot$式Ｅ
となるはずだけど、２つの値は大きく違う。
よって、$E(X)$と$E(\bar{W})$を等しいとはみなせない。