はしごの長さは$35$mで固定なので、先端が一番高くなるのは はしごの角度を最大の${75}^{\circ }$にしたとき（図Ａ）。

図Ａのように、点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$を通る水平面に下ろした垂線の足を 点$\mathrm{H}$とする。

このとき、図中のオレンジの三角形は直角三角形なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}}=\sin {75}^{\circ }$
より
$\mathrm{AH}=\mathrm{AB}\sin {75}^{\circ }$式Ａ
とかける。

いま、
$\mathrm{AB}=35$
で、三角比の表より
$\sin {75}^{\circ }=0.9659$
なので、式Ａは
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AH}& =35\times 0.9659\\ & \doteqdot 34\end{array}$$ となる。

これに、地面から点線までの高さの$2$mをたして、点$\mathrm{A}$の最高到達点の高さは
$34+2=36$
である。

解答ア：３, イ：６

次は、図Ｂの状態での$\mathrm{\angle }\mathrm{QBC}$だ。

図Ｂ中の赤い四角形$\mathrm{PCBQ}$は、４つの辺と１つの角が分かっている。
これを$\mathrm{BP}$で２つの三角形に分けて考えよう。

△$\mathrm{BQP}$（緑の三角形）は直角三角形で、
$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}\mathrm{BQ}& =18\\ & =6\times 3\end{array}\\ \begin{array}{rl}\mathrm{PQ}& =26-2\\ & =24\\ & =6\times 4\end{array}\end{array}$
だから、辺の比は$3:4:5$になる。

よって、
$\mathrm{\angle }\mathrm{QBP}=\alpha$
とすると、
$$\begin{array}{rl}\sin \alpha & ={\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{BP}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{5}}\\ & =0.8\end{array}$$ となるから、三角比の表より
$\alpha$は${53}^{\circ }$よりちょっと大きいＢ ことが分かる。

また、
$\mathrm{BQ}:\mathrm{PQ}:\mathrm{BP}=3:4:5$
なので、
$\mathrm{BP}=6\times 5$
となる。

次は、△$\mathrm{PCB}$（青い三角形）だ。
$\mathrm{\angle }\mathrm{CBP}=\beta$
とすると、余弦定理より
${\mathrm{PC}}^2={\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2\mathrm{BP}\cdot \mathrm{BC}\cos \beta$
とかける。

これに、それぞれの値を代入して、
${10}^2=(6\times 5{)}^2+{25}^2-2\cdot (6\times 5)\cdot 25\cos \beta$
両辺を$5^2$で割って、
$2^2=6^2+5^2-2\cdot 6\cdot 5\cos \beta$
より

$$\begin{array}{rl}\cos \beta & ={\displaystyle \frac{2^2-6^2-5^2}{-2\cdot 6\cdot 5}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\cancel{57}}^{19}}{2\cdot {\cancel{6}}^2\cdot 5}}\\ & =0.95\end{array}$$ となる。

これを三角比の表で探すと、
$\beta$は${18}^{\circ }$よりちょっと大きいＣ ことが分かる。

さらに、図Ｃのように点$\mathrm{B}$から点$\mathrm{Q}$に向かって$6$mのところにフェンス（緑の部分）があるときを考える。

フェンスの延長と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$、フェンスと$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{I}$とする。

△$\mathrm{DBI}$（図Ｃの赤い三角形）は直角三角形なので、
$\tan \mathrm{\angle }\mathrm{DBI}={\displaystyle \frac{\mathrm{DI}}{\mathrm{BI}}}$
より
$\mathrm{DI}=\mathrm{BI}\tan \mathrm{\angle }\mathrm{DBI}$式Ｄ
とかける。

(i)で考えたように
$\mathrm{\angle }\mathrm{DBI}={71}^{\circ }$
なので、三角比の表より
$\tan \mathrm{\angle }\mathrm{DBI}=2.9042$
である。

また、
$\mathrm{BI}=6$
なので、式Ｄは
$$\begin{array}{rl}\mathrm{DI}& =6\times 2.9042\\ & \doteqdot 17.4\end{array}$$ となる。

これに地面から点$\mathrm{I}$までの高さをたして、地面から点$\mathrm{D}$までの距離は
$17.4+2=19.4$
であることが分かる。

フェンスがこれより高いと、はしごに当たってしまう。
よって、選択肢のうち、ぶつからない最大の高さは
④
である。

解答エ：４