はしごの長さは$35$mで固定なので、先端が一番高くなるのは はしごの角度を最大の$75^{\circ}$にしたとき（図Ａ）。

図Ａのように、点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$を通る水平面に下ろした垂線の足を 点$\mathrm{H}$とする。

このとき、図中のオレンジの三角形は直角三角形なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}=\sin 75^{\circ}$
より
$\mathrm{AH}=\mathrm{AB}\sin 75^{\circ}$式Ａ
とかける。

いま、
$\mathrm{AB}=35$
で、三角比の表より
$\sin 75^{\circ}=0.9659$
なので、式Ａは
$\mathrm{AH}=35\times 0.9659$
$\phantom{ \mathrm{AH} } \doteqdot 34$
となる。

これに、地面から点線までの高さの$2$mをたして、点$\mathrm{A}$の最高到達点の高さは
$34+2=36$
である。

解答ア：３, イ：６

次は、図Ｂの状態での$\angle \mathrm{QBC}$だ。

図Ｂ中の赤い四角形$\mathrm{PCBQ}$は、４つの辺と１つの角が分かっている。
これを$\mathrm{BP}$で２つの三角形に分けて考えよう。

△$\mathrm{BQP}$（緑の三角形）は直角三角形で、 $\mathrm{BQ}=18$
$\phantom{\mathrm{BQ}}=6\times 3$ $\mathrm{PQ}=26-2$
$\phantom{\mathrm{PQ}}=24$
$\phantom{\mathrm{PQ}}=6\times 4$ だから、辺の比は$3:4:5$になる。

よって、
$\angle \mathrm{QBP}=\alpha$
とすると、
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{BP}}$
$\phantom{ \sin\alpha } \displaystyle =\frac{4}{5}$
$\phantom{ \sin\alpha } =0.8$
となるから、三角比の表より
$\alpha$は$53^{\circ}$よりちょっと大きいＢ ことが分かる。

また、
$\mathrm{BQ}:\mathrm{PQ}:\mathrm{BP}=3:4:5$
なので、
$\mathrm{BP}=6\times 5$
となる。

次は、△$\mathrm{PCB}$（青い三角形）だ。
$\angle \mathrm{CBP}=\beta$
とすると、余弦定理より
$\mathrm{PC}^{2}=\mathrm{BP}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\mathrm{BP}\cdot \mathrm{BC}\cos\beta$
とかける。

これに、それぞれの値を代入して、
$ 10^{2}=(6\times 5)^{2}+25^{2}-2\cdot(6\times 5)\cdot 25\cos\beta$
両辺を$5^{2}$で割って、
$ 2^{2}=6^{2}+5^{2}-2\cdot 6\cdot 5\cos\beta$
より
$\displaystyle \cos\beta=\frac{2^{2}-6^{2}-5^{2}}{-2\cdot 6\cdot 5}$
$\phantom{ \cos\beta } \displaystyle =\frac{\cancel{57}^{19}}{2\cdot\cancel{6}^{2}\cdot 5}$
$\phantom{ \cos\beta } =0.95$
となる。

これを三角比の表で探すと、
$\beta$は$18^{\circ}$よりちょっと大きいＣ ことが分かる。

さらに、図Ｃのように点$\mathrm{B}$から点$\mathrm{Q}$に向かって$6$mのところにフェンス（緑の部分）があるときを考える。

フェンスの延長と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$、フェンスと$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{I}$とする。

△$\mathrm{DBI}$（図Ｃの赤い三角形）は直角三角形なので、
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{DBI}=\frac{\mathrm{DI}}{\mathrm{BI}}$
より
$\mathrm{DI}=\mathrm{BI}\tan\angle \mathrm{DBI}$式Ｄ
とかける。

(i)で考えたように
$\angle \mathrm{DBI}=71^{\circ}$
なので、三角比の表より
$\tan\angle \mathrm{DBI}=2.9042$
である。

また、
$\mathrm{BI}=6$
なので、式Ｄは
$\mathrm{DI}=6\times 2.9042$
$\phantom{ \mathrm{DI} } \doteqdot 17.4$
となる。

これに地面から点$\mathrm{I}$までの高さをたして、地面から点$\mathrm{D}$までの距離は
$17.4+2=19.4$
であることが分かる。

フェンスがこれより高いと、はしごに当たってしまう。
よって、選択肢のうち、ぶつからない最大の高さは
④
である。

解答エ：４