次は、標本平均の分布だ。
これについても復習しておく。

復習３

母平均$\mu$，母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を取り出す。
このとき、標本平均は
母集団が正規分布に従うときには $n$の値にかかわらす完全に、 母集団がその他の分布のときには $n$が大きければ近似的に、 正規分布
$\displaystyle N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)$
に従う。

復習３より、読書時間の標本平均は、近似的に
$\displaystyle N\left(24,\frac{\sigma^{2}}{400}\right)$
に従う。

つまり、標本平均の分布は
平均（期待値）が$24$ 分散が$\displaystyle \frac{\sigma^{2}}{400}$ の正規分布で近似できる。

解答ク：２, ケ：４

標準偏差は、分散の正の平方根をとって、
$\displaystyle \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{400}}=\frac{\sigma}{20}$
である。

解答コ：２, サ：０

(i)で考えたように、標本平均は近似的に
$\displaystyle N\left(24,\frac{\sigma^{2}}{400}\right)$
に従う。

ここでは$\sigma=40$なので、
$\displaystyle N\left(24,\frac{40^{2}}{400}\right)$
つまり
平均値が$24$ 標準偏差が
$\displaystyle \sqrt{\frac{40^{2}}{400}}=\frac{40}{20}$
           $=2$式Ａ の正規分布に従う。

よって、標本平均が$30$分以上となる確率は、図Ａの赤い部分の面積にあたる。

この赤い面積を 正規分布表を使って求めるんだけど、
図Ａの分布は$\displaystyle N\left(24,\frac{40^{2}}{400}\right)$ 正規分布表に載っているのは$N(0,1)$ なので、そのままでは比較ができない。
なので、図Ａを標準化して標準正規分布に合わせよう。

復習４

確率変数$X$の平均値を$E(X)$，標準偏差を$\sigma(X)$とする。
標準化した確率変数を$Z$とすると、
$Z=\displaystyle \frac{X-E(X)}{\sigma(X)}$
である。

復習より、図Ａの$30$を標準化したものを$Z_{30}$とすると、
$Z_{30}=\displaystyle \frac{30-24}{2}$
$Z_{30}=\displaystyle \frac{6}{2}$
      $=3$
となるから、図Ａを標準化すると図Ｂができる。

正規分布表より、図Ｂの緑の部分の面積は
$0.4987$
だと分かる。

これを$0.5$から引いて、赤い部分の面積は
$0.5-0.4987=0.0013$
である。

解答シ：０, ス：０, セ：１, ソ：３

次は、選択肢から確率が約$0.1587$であるものを探す問題。
何だかよく分からないので、それぞれの選択肢を考えてみよう。

以上より、正しい選択肢は④しかない。

解答タ；４

まず、母平均の推定の復習から。

復習５

母標準偏差を$\sigma$，標本平均を$\overline{X}$，標本の大きさを$n$とすると、母平均$\mu$の信頼区間を求める式は
$\displaystyle \overline{X}-z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq\mu\leqq\overline{X}+z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$式Ｂ

ただし、信頼度が$ c\%$のとき、
$z$は、右図を標準正規分布の確率分布図として、図中の$z_{0}$の値。
特に、
信頼度$ 95\%$のとき、$z=1.96$ 信頼度$ 99\%$のとき、$z=2.58$ である。

復習５の式Ｂより、$m$の$ 95\%$の信頼区間は、
$\displaystyle \overline{X}-1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{400}}\leqq\mu\leqq\overline{X}+1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{400}}$
より
$\displaystyle \overline{X}-1.96\cdot\frac{\sigma}{20}\leqq\mu\leqq\overline{X}+1.96\cdot\frac{\sigma}{20}$
とかける。

解答チ：４

アドバイス

これじゃ原理がゼンゼン分からないけど、原理通り解くと時間がかかるから、共通テスト本番では機械的に公式を使おう。
原理に関してはこのページ参照。

何やら難しそうな選択肢が並んでいるけれど、びっくりせずに考えよう。

$A\leqq m\leqq B$
は母平均$m$についての信頼区間である。

選択肢⓪，①のように、学生の人数 選択肢②，③，⑤のように、標本平均 についての式ではない。
なので、選択肢の⓪，①，②，③，⑤は不適。

正しい選択肢は
④
である。

解答ツ：４