三角形の合同を使って、${\mathrm{AB}}^{\prime }=\mathrm{CX}$を示したい。
そのときに使う三角形を答える問題だ。

${\mathrm{AB}}^{\prime }$は、図Ａの赤い辺。
$\mathrm{CX}$は、紫の辺。
この２つ辺が等しいことを示したい。
だから、赤を一辺とする三角形と、紫を一辺とする三角形で、合同になりそうなのを選べばよい。

図Ａの左図には選択肢のうちで赤を一辺とする三角形を、右図には紫を一辺とする三角形を示してある。
見比べてみると、青い三角形と赤い斜線の三角形が合同になりそうだ。

よって、ア，イには
△${\mathrm{ABB}}^{\prime }$と△$\mathrm{CBX}$
の
⓪と⑦
が入る。

解答ア：０, イ：７ （順不同）

次は、問題２についての問いだ。

以下では、△$\mathrm{PQR}$の各頂点から平面上のある点への距離の和を
$f($ある点$)$
と書く。

例えば、 各頂点から点$\mathrm{Y}$への距離の和$\mathrm{PY}+\mathrm{QY}+\mathrm{RY}$を
$f(\mathrm{Y})$ 点$\mathrm{T}$への距離の和$\mathrm{PT}+\mathrm{QT}+\mathrm{RT}$を
$f(\mathrm{T})$ と書く。

図形上に点$\mathrm{T}$をとり、いろいろ動かしてみて、
$f(\mathrm{T})$
が最小になる点$\mathrm{T}$の位置を見つければ、それが点$\mathrm{Y}$だ。

ここでまず気づくのは、点$\mathrm{T}$が△$\mathrm{PQR}$の外部にあるとき、$f(\mathrm{T})$が最小になることはないこと。

点$\mathrm{T}$が△$\mathrm{PQR}$の外部にあるときは、例えば図Ｂのような図形ができる。
このとき、
${\mathrm{PT}}^{\prime }<\mathrm{PT}$ ${\mathrm{QT}}^{\prime }<\mathrm{QT}$ ${\mathrm{RT}}^{\prime }<\mathrm{RT}$ なので、
$f({\mathrm{T}}^{\prime })<f(\mathrm{T})$
である。

こんな感じで、点$\mathrm{T}$が△$\mathrm{PQR}$の外部にあるとき、△$\mathrm{PQR}$の辺または頂点上に、
$f({\mathrm{T}}^{\prime })<f(\mathrm{T})$
となる点${\mathrm{T}}^{\prime }$が必ず作れる。

よって、△$\mathrm{PQR}$の外部にあるときに$f(\mathrm{T})$が最小になることはないから、点$\mathrm{T}$が△$\mathrm{PQR}$の内部または周上にあるときだけ考えればよい。

点$\mathrm{T}$が弧$\mathrm{PQ}$上にあるとき

図Ｃのように点$\mathrm{T}$が弧$\mathrm{PQ}$（緑の弧）上にあるとき、問題１より
$\mathrm{ST}=\mathrm{PT}+\mathrm{QT}$
なので、
$f(\mathrm{T})=\mathrm{ST}+\mathrm{RT}$
$f(\mathrm{T})$$=$オレンジの線の長さ
である。

解答ウ：５

点$\mathrm{T}$が緑の弧上を動くと、オレンジの線の長さは変化する。
点$\mathrm{T}$が図Ｃの赤い点のとき、つまり$\mathrm{STR}$が一直線上にあるとき、オレンジの線の長さは最小になる。

このときのオレンジの線は赤い線なので、$f(\mathrm{T})$の最小値は
$f(\mathrm{T})=\mathrm{RS}$式Ａ
である。

以上より、図Ｃの赤い点が、求める点$\mathrm{Y}$である。

図Ｃの赤い点は赤い線と緑の弧の交点なので、
点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{S}$を通る直線と、弧$\mathrm{PQ}$の交点 である。

解答エ：２, オ：３ （順不同）

解答カ：３

$\mathrm{\angle }\mathrm{QPR}$を大きくしてゆくと、図Ｅのようになる。

図Ｅより、$\mathrm{RS}$と弧$\mathrm{PQ}$が共有点をもつ限界は、図Ｆのように点$\mathrm{R}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$Sが一直線になるとき。

$\mathrm{\angle }\mathrm{QPS}={60}^{\circ }$より、図Ｆのとき
$\mathrm{\angle }\mathrm{QPR}={180}^{\circ }-{60}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }\mathrm{QPR}$$={120}^{\circ }$
となる。

よって、、
${120}^{\circ }<\mathrm{\angle }\mathrm{QPR}$
のとき、$\mathrm{RS}$と弧$\mathrm{PQ}$は交わらないことが分かる。

解答キ：４

$\mathrm{\angle }\mathrm{QPR}<{120}^{\circ }$のとき

(2)の(i)～(iii)で点$\mathrm{Y}$の位置を求めたときには、辺$\mathrm{PQ}$の外側に正三角形を作って考えた。
ということは、辺$\mathrm{PR}$の外側に正三角形を作っても、同じ作業ができて同じ点$\mathrm{Y}$が求められるはず。
こう考えると、図Ｇができる。

図Ｇのオレンジの三角形と赤い三角形は正三角形。
緑の四角形と青い四角形は、円に内接している。
なので、
$\{\begin{array}{l}\mathrm{\angle }\mathrm{PYR}+\mathrm{\angle }\mathrm{PVR}={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }\mathrm{QYP}+\mathrm{\angle }\mathrm{QSP}={180}^{\circ }\end{array}$
となるから、
$\mathrm{\angle }\mathrm{PYR}=\mathrm{\angle }\mathrm{QYP}={120}^{\circ }$
である。

また、
$\mathrm{\angle }\mathrm{RYQ}={360}^{\circ }-(\mathrm{\angle }\mathrm{PYR}+\mathrm{\angle }\mathrm{QYP})$
$\mathrm{\angle }\mathrm{RYQ}$$={120}^{\circ }$
なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{PYR}=\mathrm{\angle }\mathrm{QYP}=\mathrm{\angle }\mathrm{RYQ}$
であることが分かる。

解答ク：３

${120}^{\circ }<\mathrm{\angle }\mathrm{QPR}$のとき、例えば図Ｈのような図形が考えられる。

このとき、紫の点が点$\mathrm{Y}$だと簡単なんだけど、点$\mathrm{Y}$は△$\mathrm{PQR}$の外部にはないからダメ。

なので、ウ～カを考えたときと同じようにやってみよう。

以上より、${120}^{\circ }<\mathrm{\angle }\mathrm{QPR}$のときの点$\mathrm{Y}$は点$\mathrm{P}$なので、選択肢の
⑥
が正しい。

解答ケ：６