三角形の合同を使って、$\mathrm{AB}'=\mathrm{CX}$を示したい。
そのときに使う三角形を答える問題だ。

図の固定

$\mathrm{AB}'$は、図Ａの赤い辺。
$\mathrm{CX}$は、紫の辺。
この２つ辺が等しいことを示したい。
だから、赤を一辺とする三角形と、紫を一辺とする三角形で、合同になりそうなのを選べばよい。

図Ａの左図には選択肢のうちで赤を一辺とする三角形を、右図には紫を一辺とする三角形を示してある。
見比べてみると、青い三角形と赤い斜線の三角形が合同になりそうだ。

よって、ア，イには
△$\mathrm{ABB}'$と△$\mathrm{CBX}$
の
⓪と⑦
が入る。

解答ア：０, イ：７ （順不同）

次は、問題２についての問いだ。

以下では、△$\mathrm{PQR}$の各頂点から平面上のある点への距離の和を
$f($ある点$)$
と書く。

例えば、 各頂点から点$\mathrm{Y}$への距離の和$\mathrm{PY}+\mathrm{QY}+\mathrm{RY}$を
$f(\mathrm{Y})$ 点$\mathrm{T}$への距離の和$\mathrm{PT}+\mathrm{QT}+\mathrm{RT}$を
$f(\mathrm{T})$ と書く。

図形上に点$\mathrm{T}$をとり、いろいろ動かしてみて、
$f(\mathrm{T})$
が最小になる点$\mathrm{T}$の位置を見つければ、それが点$\mathrm{Y}$だ。

ここでまず気づくのは、点$\mathrm{T}$が△$\mathrm{PQR}$の外部にあるとき、$f(\mathrm{T})$が最小になることはないこと。

図の固定

点$\mathrm{T}$が△$\mathrm{PQR}$の外部にあるときは、例えば図Ｂのような図形ができる。
このとき、
$\mathrm{PT}' \lt \mathrm{PT}$ $\mathrm{QT}' \lt \mathrm{QT}$ $\mathrm{RT}' \lt \mathrm{RT}$ なので、
$f(\mathrm{T}') \lt f(\mathrm{T})$
である。

こんな感じで、点$\mathrm{T}$が△$\mathrm{PQR}$の外部にあるとき、△$\mathrm{PQR}$の辺または頂点上に、
$f(\mathrm{T}') \lt f(\mathrm{T})$
となる点$\mathrm{T}'$が必ず作れる。

よって、△$\mathrm{PQR}$の外部にあるときに$f(\mathrm{T})$が最小になることはないから、点$\mathrm{T}$が△$\mathrm{PQR}$の内部または周上にあるときだけ考えればよい。

点$\mathrm{T}$が弧$\mathrm{PQ}$上にあるとき

図の固定

図Ｃのように点$\mathrm{T}$が弧$\mathrm{PQ}$（緑の弧）上にあるとき、問題１より
$\mathrm{ST}=\mathrm{PT}+\mathrm{QT}$
なので、
$f(\mathrm{T})=\mathrm{ST}+\mathrm{RT}$
$f(\mathrm{T})$$=$オレンジの線の長さ
である。

解答ウ：５

点$\mathrm{T}$が緑の弧上を動くと、オレンジの線の長さは変化する。
点$\mathrm{T}$が図Ｃの赤い点のとき、つまり$\mathrm{STR}$が一直線上にあるとき、オレンジの線の長さは最小になる。

このときのオレンジの線は赤い線なので、$f(\mathrm{T})$の最小値は
$f(\mathrm{T})=\mathrm{RS}$式Ａ
である。

以上より、図Ｃの赤い点が、求める点$\mathrm{Y}$である。

図Ｃの赤い点は赤い線と緑の弧の交点なので、
点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{S}$を通る直線と、弧$\mathrm{PQ}$の交点 である。

解答エ：２, オ：３ （順不同）

解答カ：３

$\angle \mathrm{QPR} \lt 120^{\circ}$のとき

(2)の(i)～(iii)で点$\mathrm{Y}$の位置を求めたときには、辺$\mathrm{PQ}$の外側に正三角形を作って考えた。
ということは、辺$\mathrm{PR}$の外側に正三角形を作っても、同じ作業ができて同じ点$\mathrm{Y}$が求められるはず。
こう考えると、図Ｇができる。

図の固定

図Ｇのオレンジの三角形と赤い三角形は正三角形。
緑の四角形と青い四角形は、円に内接している。
なので、
$\left\{\begin{array}{l}
\angle \mathrm{P}\mathrm{Y}\mathrm{R}+\angle \mathrm{P}\mathrm{V}\mathrm{R}=180^{\circ}\\
\angle \mathrm{Q}\mathrm{Y}\mathrm{P}+\angle \mathrm{Q}\mathrm{S}\mathrm{P}=180^{\circ}
\end{array}\right.$
となるから、
$\angle \mathrm{PYR}=\angle \mathrm{QYP}=120^{\circ}$
である。

また、
$\angle \mathrm{RYQ}=360^{\circ}-(\angle \mathrm{PYR}+\angle \mathrm{QYP})$
$\angle \mathrm{RYQ}$$=120^{\circ}$
なので、
$\angle \mathrm{PYR}=\angle \mathrm{QYP}=\angle \mathrm{RYQ}$
であることが分かる。

解答ク：３

$120^{\circ} \lt \angle \mathrm{QPR}$のとき、例えば図Ｈのような図形が考えられる。

図の固定

このとき、紫の点が点$\mathrm{Y}$だと簡単なんだけど、点$\mathrm{Y}$は△$\mathrm{PQR}$の外部にはないからダメ。

なので、ウ～カを考えたときと同じようにやってみよう。