文章を短くするために、解説では、
「１番目の人」を「」 「２番目の人」を「」 「当たりくじを引く」を「当たる」

「箱Ａ（Ｂ）から当たりくじを引く」を「箱Ａ（Ｂ）で当たる」 「と同じ（異なる）箱から当たりくじを引く」を「同（異）箱で当たる」 と書く。

また、「が当たった場合（事象$W$のとき）の条件付き確率」を、単に「条件付き確率」と書く。

まず、が箱Ａで当たる確率だ。

が箱Ａを選ぶ確率は、
$P(A)={\displaystyle \frac{1}{2}}$
箱Ａから当たりくじを引く確率は
$P_A(W)={\displaystyle \frac{10}{100}}$
である。

なので、求める確率は
$P(A{\displaystyle \cap W)=P(A)\cdot P_A(W)=\frac{1}{2}\cdot \frac{10}{100}}$
$P(A{\displaystyle \cap W)=P(A)\cdot P_A(W)}$${\displaystyle =\frac{1}{20}}$式Ａ
となる。

解答ア：１, イ：２, ウ：０

同様に、が箱Ｂで当たる確率は、
$P(B{\displaystyle \cap W)=P(B)\cdot P_B(W)=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{100}}$
$P(B{\displaystyle \cap W)=P(B)\cdot P_B(W)}$${\displaystyle =\frac{1}{40}}$式Ｂ
である。

よって、が当たる確率は、式Ａと式Ｂをたして
$P(W)={\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{40}}$
$P(W)$${\displaystyle =\frac{2}{40}+\frac{1}{40}}$
$P(W)$${\displaystyle =\frac{3}{40}}$式Ｃ
となる。

解答エ：３, オ：４, カ：０

問題文より、求める条件付き確率$P_W(A)$は
$P_w(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap W)}{P(W)}}$式Ｄ
とかける。

いま、
式Ａより、$P(A{\displaystyle \cap W)=\frac{1}{20}}$ 式Ｃより、$P(W)={\displaystyle \frac{3}{40}}$ であることが分かっている。

よって、式Ｄは
$P_w(A)={\displaystyle \frac{\frac{1}{20}}{\frac{3}{40}}}$
$P_w(A)$${\displaystyle =\frac{1}{20}\cdot \frac{40}{3}}$
$P_w(A)$${\displaystyle =\frac{2}{3}}$
となる。

解答キ：２, ク：３

が当たりくじを引いたあと、箱に残っているくじの数は表Ａのようになっている。

		が当たったのが
		箱Ａのとき $P_W(A)={\displaystyle \frac{2}{3}}$	箱Ｂのとき $P_W(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}$
が 引いた あと	箱Ａ には	当たり$9$本 全部で$99$本	当たり$10$本 全部で$100$本
	箱Ｂ には	当たり$5$本 全部で$100$本	当たり$4$本 全部で$99$本

が同箱で当たる場合は、表Ａの青い部分。
なので、条件付き確率は
$P_W(A){\displaystyle \times \frac{9}{99}+P_W(B)\times \frac{4}{99}}$
である。

解答ケ：４

これはさらに
${\displaystyle \frac{2}{3}\times \frac{9}{99}+\frac{1}{3}\times \frac{4}{99}}$
とかける。

これを計算すると、
${\displaystyle \frac{2\cdot 9+1\cdot 4}{3\cdot 99}}$
$={\displaystyle \frac{22}{3\cdot 99}}$
$={\displaystyle \frac{2}{3\cdot 9}}$
$={\displaystyle \frac{2}{27}}$
となる。

解答コ：２, サ：２, シ：７

が異箱で当たる場合は、表Ａの緑の部分。
なので、条件付き確率は
${\displaystyle \frac{2}{3}\times \frac{5}{100}+\frac{1}{3}\times \frac{10}{100}}$
とかける。

これを計算すると、
${\displaystyle \frac{2\cdot 5+1\cdot 10}{3\cdot 100}=\frac{20}{3\cdot 100}}$
${\displaystyle \frac{2\cdot 5+1\cdot 10}{3\cdot 100}}$${\displaystyle =\frac{1}{3\cdot 5}}$
${\displaystyle \frac{2\cdot 5+1\cdot 10}{3\cdot 100}}$${\displaystyle =\frac{1}{15}}$
である。

解答ス：１, セ：１, ソ：５

箱Ｂの当たりくじを$b$本とすると、表Ａがどうなるか考えてみよう。

が箱Ａで当たる確率は
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{10}{100}=\frac{10}{200}}$
箱Ｂで当たる確率は
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{100}=\frac{b}{200}}$
なので、が当たる確率は
${\displaystyle \frac{10}{200}+\frac{b}{200}=\frac{b+10}{200}}$
である。

よって、が箱Ａで当たる条件付き確率$P_W(A)$は、
$$\begin{array}{rl}{P}_W(A)& =\frac{\frac{10}{200}}{\frac{b+10}{200}}\\ & =\frac{10}{b+10}\end{array}$$

箱Ｂで当たる条件付き確率$P_W(B)$は、
$$\begin{array}{rl}{P}_W(B)& =\frac{\frac{b}{200}}{\frac{b+10}{200}}\\ & =\frac{b}{b+10}\end{array}$$ となる。

このとき、表Ａは表Ｂのように書きなおせる。

		が当たったのが
		箱Ａのとき $P_W(A)={\displaystyle \frac{10}{b+10}}$	箱Ｂのとき $P_W(B)={\displaystyle \frac{b}{b+10}}$
が 引いた あと	箱Ａ には	当たり$9$本 全部で$99$本	当たり$10$本 全部で$100$本
	箱Ｂ には	当たり$b$本 全部で$100$本	当たり$b-1$本 全部で$99$本

が同箱で当たる場合は、表Ｂの青い部分。
なので、条件付き確率は
${\displaystyle \frac{10}{b+10}\times \frac{9}{99}+\frac{b}{b+10}\times \frac{b-1}{99}}$
$={\displaystyle \frac{b(b-1)+90}{99(b+10)}}$式Ｆ
とかける。

いま、箱Ｂの当たりくじの数は$7$本なので、
$b=7$
だから、式Ｆは
${\displaystyle \frac{7\cdot 6+90}{99(7+10)}}$
となる。

これを計算して、求める条件付き確率は、
${\displaystyle \frac{7\cdot 2+30}{33\cdot 17}}$
$={\displaystyle \frac{44}{33\cdot 17}}$
$={\displaystyle \frac{4}{3\cdot 17}}$
$={\displaystyle \frac{4}{51}}$
である。

解答タ：４, チ：５, ツ：１

さらに、問題文中に答えがあるけど、せっかくなのでが異箱で当たる条件付き確率も求めてみよう。

表Ｂの緑の部分より
${\displaystyle \frac{10}{b+10}\times \frac{b}{100}+\frac{b}{b+10}\times \frac{10}{100}}$
$={\displaystyle \frac{20b}{100(b+10)}}$
$={\displaystyle \frac{b}{5(b+10)}}$式Ｇ
とかける。

ここでは
$b=7$
なので、式Ｇは
${\displaystyle \frac{7}{5(7+10)}}$
より
${\displaystyle \frac{7}{5\cdot 17}=\frac{7}{85}}$
となる。

これまでの結果を振り返ってみよう。

(1)より、箱Ｂの当たりくじが$5$本のとき、が当たる条件付き確率は
同箱では ${\displaystyle \frac{2}{27}}$ 異箱では ${\displaystyle \frac{1}{15}=\frac{2}{30}}$ だった。
なので、このとき、が当たる確率は
同箱$>$異箱
である。

(2)より、箱Ｂの当たりくじが$7$本のとき、が当たる条件付き確率は
同箱では ${\displaystyle \frac{4}{51}=\frac{28}{357}}$ 異箱では ${\displaystyle \frac{7}{85}=\frac{28}{340}}$ だった。
なので、このとき、が当たる確率は
同箱$<$異箱
である。

つまり、は、箱Ｂの当たりくじの数が
$5$本のときは、同箱 $7$本のときは、異箱 を選んだ方が有利だ。

よって、答えは選択肢の
①または②
であることが分かる。

①と②のどちらが答えかを見つけるために、箱Ｂの当たりくじの数$b$が$6$本のときを考えよう。

$b=6$のとき、

が同箱で当たる条件付き確率は、式Ｆより
${\displaystyle \frac{6(6-1)+90}{99(6+10)}}$

が異箱で当たる条件付き確率は、式Ｇより
${\displaystyle \frac{6}{5(6+10)}}$

となる。

ここで、
${\displaystyle \frac{5}{66}=\frac{15}{198}}$ ${\displaystyle \frac{3}{40}=\frac{15}{200}}$ なので、
${\displaystyle \frac{5}{66}>\frac{3}{40}}$
だから、$b=6$のときは同箱が有利だ。

以上より、正しい選択肢は
①
である。

解答テ：１