文章を短くするために、解説では、
「１番目の人」を「」 「２番目の人」を「」 「当たりくじを引く」を「当たる」

「箱Ａ（Ｂ）から当たりくじを引く」を「箱Ａ（Ｂ）で当たる」 「と同じ（異なる）箱から当たりくじを引く」を「同（異）箱で当たる」 と書く。

また、「が当たった場合（事象$W$のとき）の条件付き確率」を、単に「条件付き確率」と書く。

まず、が箱Ａで当たる確率だ。

が箱Ａを選ぶ確率は、
$P(A)=\displaystyle \frac{1}{2}$
箱Ａから当たりくじを引く確率は
$P_{A}(W)=\displaystyle \frac{10}{100}$
である。

なので、求める確率は
$P(A\displaystyle \cap W)=P(A)\cdot P_{A}(W)=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{100}$
$P(A\displaystyle \cap W)=P(A)\cdot P_{A}(W)$$\displaystyle =\frac{1}{20}$式Ａ
となる。

解答ア：１, イ：２, ウ：０

同様に、が箱Ｂで当たる確率は、
$P(B\displaystyle \cap W)=P(B)\cdot P_{B}(W)=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{100}$
$P(B\displaystyle \cap W)=P(B)\cdot P_{B}(W)$$\displaystyle =\frac{1}{40}$式Ｂ
である。

よって、が当たる確率は、式Ａと式Ｂをたして
$P(W)=\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{40}$
$P(W)$$\displaystyle =\frac{2}{40}+\frac{1}{40}$
$P(W)$$\displaystyle =\frac{3}{40}$式Ｃ
となる。

解答エ：３, オ：４, カ：０

問題文より、求める条件付き確率$P_{W}(A)$は
$P_{w}(A)=\displaystyle \frac{P(A\cap W)}{P(W)}$式Ｄ
とかける。

いま、
式Ａより、$P(A\displaystyle \cap W)=\frac{1}{20}$ 式Ｃより、$P(W)=\displaystyle \frac{3}{40}$ であることが分かっている。

よって、式Ｄは
$P_{w}(A)=\displaystyle \frac{\frac{1}{20}}{\frac{3}{40}}$
$P_{w}(A)$$\displaystyle =\frac{1}{20}\cdot\frac{40}{3}$
$P_{w}(A)$$\displaystyle =\frac{2}{3}$
となる。

解答キ：２, ク：３

が当たりくじを引いたあと、箱に残っているくじの数は表Ａのようになっている。

が同箱で当たる場合は、表Ａの青い部分。
なので、条件付き確率は
$P_{W}(A)\displaystyle \times\frac{9}{99}+P_{W}(B)\times\frac{4}{99}$
である。

解答ケ：４

これはさらに
$\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{9}{99}+\frac{1}{3}\times\frac{4}{99}$
とかける。

これを計算すると、
$\displaystyle \frac{2\cdot 9+1\cdot 4}{3\cdot 99}$
$=\displaystyle \frac{22}{3\cdot 99}$
$=\displaystyle \frac{2}{3\cdot 9}$
$=\displaystyle \frac{2}{27}$
となる。

解答コ：２, サ：２, シ：７

が異箱で当たる場合は、表Ａの緑の部分。
なので、条件付き確率は
$\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{5}{100}+\frac{1}{3}\times\frac{10}{100}$
とかける。

これを計算すると、
$\displaystyle \frac{2\cdot 5+1\cdot 10}{3\cdot 100}=\frac{20}{3\cdot 100}$
$\displaystyle \frac{2\cdot 5+1\cdot 10}{3\cdot 100}$$\displaystyle =\frac{1}{3\cdot 5}$
$\displaystyle \frac{2\cdot 5+1\cdot 10}{3\cdot 100}$$\displaystyle =\frac{1}{15}$
である。

解答ス：１, セ：１, ソ：５

箱Ｂの当たりくじを$b$本とすると、表Ａがどうなるか考えてみよう。

が箱Ａで当たる確率は
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{10}{100}=\frac{10}{200}$
箱Ｂで当たる確率は
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{b}{100}=\frac{b}{200}$
なので、が当たる確率は
$\displaystyle \frac{10}{200}+\frac{b}{200}=\frac{b+10}{200}$
である。

よって、が箱Ａで当たる条件付き確率$P_{W}(A)$は、
$$ \begin{align} P_{W}(A)&=\frac{\cfrac{10}{200}}{\cfrac{b+10}{200}}\\ &=\frac{10}{b+10} \end{align} $$

箱Ｂで当たる条件付き確率$P_{W}(B)$は、
$$ \begin{align} P_{W}(B)&=\frac{\cfrac{b}{200}}{\cfrac{b+10}{200}}\\ &=\frac{b}{b+10} \end{align} $$ となる。

このとき、表Ａは表Ｂのように書きなおせる。

が同箱で当たる場合は、表Ｂの青い部分。
なので、条件付き確率は
$\displaystyle \frac{10}{b+10}\times\frac{9}{99}+\frac{b}{b+10}\times\frac{b-1}{99}$
$=\displaystyle \frac{b(b-1)+90}{99(b+10)}$式Ｆ
とかける。

いま、箱Ｂの当たりくじの数は$7$本なので、
$b=7$
だから、式Ｆは
$\displaystyle \frac{7\cdot 6+90}{99(7+10)}$
となる。

これを計算して、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{7\cdot 2+30}{33\cdot 17}$
$=\displaystyle \frac{44}{33\cdot 17}$
$=\displaystyle \frac{4}{3\cdot 17}$
$=\displaystyle \frac{4}{51}$
である。

解答タ：４, チ：５, ツ：１

さらに、問題文中に答えがあるけど、せっかくなのでが異箱で当たる条件付き確率も求めてみよう。

表Ｂの緑の部分より
$\displaystyle \frac{10}{b+10}\times\frac{b}{100}+\frac{b}{b+10}\times\frac{10}{100}$
$=\displaystyle \frac{20b}{100(b+10)}$
$=\displaystyle \frac{b}{5(b+10)}$式Ｇ
とかける。

ここでは
$b=7$
なので、式Ｇは
$\displaystyle \frac{7}{5(7+10)}$
より
$\displaystyle \frac{7}{5\cdot 17}=\frac{7}{85}$
となる。

これまでの結果を振り返ってみよう。

(1)より、箱Ｂの当たりくじが$5$本のとき、が当たる条件付き確率は
同箱では $\displaystyle \frac{2}{27}$ 異箱では $\displaystyle \frac{1}{15}=\frac{2}{30}$ だった。
なので、このとき、が当たる確率は
同箱$ \gt $異箱
である。

(2)より、箱Ｂの当たりくじが$7$本のとき、が当たる条件付き確率は
同箱では $\displaystyle \frac{4}{51}=\frac{28}{357}$ 異箱では $\displaystyle \frac{7}{85}=\frac{28}{340}$ だった。
なので、このとき、が当たる確率は
同箱$ \lt $異箱
である。

つまり、は、箱Ｂの当たりくじの数が
$5$本のときは、同箱 $7$本のときは、異箱 を選んだ方が有利だ。

よって、答えは選択肢の
①または②
であることが分かる。

①と②のどちらが答えかを見つけるために、箱Ｂの当たりくじの数$b$が$6$本のときを考えよう。

$b=6$のとき、

が同箱で当たる条件付き確率は、式Ｆより
$\displaystyle \frac{6(6-1)+90}{99(6+10)}$

途中式

$=\displaystyle \frac{2\cdot 5+30}{33\cdot 16}$
$=\displaystyle \frac{5+15}{33\cdot 8}$
$=\displaystyle \frac{20}{33\cdot 8}$
$=\displaystyle \frac{5}{33\cdot 2}$

$=\displaystyle \frac{5}{66}$

が異箱で当たる条件付き確率は、式Ｇより
$\displaystyle \frac{6}{5(6+10)}$

途中式

$=\displaystyle \frac{6}{5\cdot 16}$
$=\displaystyle \frac{3}{5\cdot 8}$

$=\displaystyle \frac{3}{40}$

となる。

ここで、
$\displaystyle \frac{5}{66}=\frac{15}{198}$ $\displaystyle \frac{3}{40}=\frac{15}{200}$ なので、
$\displaystyle \frac{5}{66} \gt \frac{3}{40}$
だから、$b=6$のときは同箱が有利だ。

以上より、正しい選択肢は
①
である。

解答テ：１