大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査数学ⅡＢ第１問 [3] 解説

(1)

まず、指数と対数の関係の復習をしよう。

復習１

$0 < a$ かつ $a \neq 1$ ， $0 < b$ のとき、
$a^{b} = c \Leftrightarrow \log_{a} c = b$
である。

復習１より、
$\log_{10} 2 = 0.3010$ 式Ａ
は
$10^{0.3010} = 2$
とかける。

解答チ：１

別解

復習１の方法を使わないと、次のようになる。

$\log_{10} 2 = 0.3010$ 式Ａ
は、左辺は対数，右辺は対数じゃないので、そのまま比較ができない。
なので、右辺を対数にしよう。

復習２

対数じゃない数を対数にするには、
$1 = \log_{a} a$
をかける。

復習２より、式Ａの右辺に $1 = \log_{10} 10$ をかけて、
$\log_{10} 2 = 0.3010 \times 1$
$\log_{10} 2$ $= 0.3010 \times \log_{10} 10$
とかける。

右辺を整理すると
$\log_{10} 2 = \log_{10} 10^{0.3010}$
なので
$10^{0.3010} = 2$
であることが分かる。

解答チ：１

次は、 $2$ ^ツをつくりたい。
なので、底が $2$ の対数をつくりたい。
というわけで、底の変換だ。

式Ａの対数の底を $2$ に変換すると
$\frac{\log_{2} 2}{\log_{2} 10} = 0.3010$
より
$\frac{1}{\log_{2} 10} = 0.3010$
$\log_{2} 10 = \frac{1}{0.3010}$
となる。

復習１より、この式は
$2^{\frac{1}{0.3010}} = 10$
と表せる。

解答ツ：５

別解

この問題にしか使えないかも知れないけど、選択肢から答えを見つけるだけなら、次のような考え方もできる。

$2^{3} = 8$ $2^{4} = 16$ なので、
$2^{3} < 10 < 2^{4}$
となるけど、底の $2$ は $1$ より大きいので、
$3 <$ ツ $< 4$
であることが分かる。

選択肢のうちで、この範囲に入るのは
⑤
の $\frac{1}{0.3010}$ しかない。

解答ツ：５

(2) (i)～(iii)

まず、対数関数のグラフの形の復習をしておこう。

復習３

対数関数 $y = \log_{a} x$ のグラフは次のような形になる。

$0 < a < 1$ のとき

$1 < a$ のとき

この問題では底が $10$ で $1$ より大きいので、右側のグラフのような形になる。

図の固定

対数ものさしのつくりかたのルールは、図Ａのようになっている。

つまり、対数ものさしＡ，Ｂともに、
目盛りに $n$ と書いてある位置の実際の値は $\log_{10} n$ だ。

(i)

復習３で復習したように、 $y = \log_{10} x$ のグラフは、 $x$ が大きくなるほど傾きが小さくなる。
なので、
$1 ≦ x ≦ 2$ の傾き（図Ａの赤い点から紫の点までの傾き）
よりも
$3 ≦ x ≦ 4$ の傾き（緑の点から青い点までの傾き）
の方が小さい。
言いかえると、 $y$ つまり $\log_{10} x$ の増加量が少ない。

よって、 $3$ と $4$ の目盛りの間隔は、 $1$ と $2$ の間よりも小さい。

解答テ：２

(ii)

対数ものさしＡで、目盛りの $2$ から $a$ の間隔は
$\log_{10} a - \log_{10} 2$
対数ものさしＢで、目盛りの $1$ から $b$ の間隔は
$\log_{10} b - \log_{10} 1$
とかける。

この２つが等しいので、
$\log_{10} a - \log_{10} 2 = \log_{10} b - \log_{10} 1$
より
$\log_{10} a = \log_{10} 2 + \log_{10} b - 0$
$\log_{10} a$ $= \log_{10} 2 b$
なので
$a = 2 b$
である。

解答ト：１

(iii)

さらに新しいものさしＣが出てきた。
このものさしＣは、
目盛りに $n$ と書いてある位置の実際の値は $n \log_{10} 2$ であるという。

対数ものさしＡで、目盛りの $1$ から $d$ の間隔は
$\log_{10} d - \log_{10} 1$
ものさしＣで、目盛りの $0$ から $c$ の間隔は
$c \log_{10} 2 - 0 \log_{10} 2$
とかける。

この２つが等しいので、
$\log_{10} d - \log_{10} 1 = c \log_{10} 2 - 0 \log_{10} 2$
より
$\log_{10} d - 0 = c \log_{10} 2 - 0$
$\log_{10} d = \log_{10} 2^{c}$
なので
$d = 2^{c}$
である。

解答ナ：２

(2) (iv)

突然見たことがない問題が出てきたけれど、大丈夫。
これまでで分かったことを使う方向で考えよう。

図の固定

(ii)より、図Ｂのとき
$a = 2 b$ 式Ｂ
の関係が成り立った。

このときの計算から、図Ｂの青い数字と緑の数字をかけると赤い数字になることが分かる。
つまり、対数ものさしＡ，Ｂを使うと、かけ算ができる。

よって、選択肢の
②
の計算ができる。

また、このとき、式Ｂを変形した
$b = \frac{a}{2}$
の関係も成り立つ。

このことから、赤い数字を青い数字で割ると緑の数字になることが分かる。
つまり、対数ものさしＡ，Ｂを使うと、割り算もできる。

よって、選択肢の
③
の計算もできる。

図の固定

(iii)より、図Ｃのとき
$d = 2^{c}$ 式Ｃ
の関係が成り立った。

このときの計算から、図Ｃの青い数字を緑の数字乗すると赤い数字になることが分かる。
つまり、対数ものさしＡとものさしＣを使うと、指数の計算ができる。

よって、選択肢の
④
の計算ができる。

また、このとき、式Ｃを変形した
$\log_{2} d = c$
の関係も成り立つ。

このことから、青い数字を底，赤い数字を真数とした対数の値は緑の数字であることが分かる。
つまり、対数ものさしＡとものさしＣを使うと、対数の計算ができる。

よって、選択肢の
⑤
の計算もできる。

一方、等間隔の目盛りがあるものさしが２本あれば、たし算と引き算もできる。
ものさしＣの目盛りは等間隔だけど、ものさしＣ同士を合わせるのはこの問題ではダメ。
なので、たし算や引き算はできない。

以上より、実行できる選択肢は
②，③，④，⑤
である。

解答ニ：２，３，４，５

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