次は$\{b_{n}\}$の漸化式
$b_{n+1}=3b_{n}-8n+6$式Ｃ
だ。

問題文にあるように、$(b_{n}\}$の一般項は(2)の方法でも(3)の方法でも求められる。
どちらでも好きな方法で解いてもらって問題ない。

さらに、
$c_{1}=16$
$c_{n+1}=3c_{n}-4n^{2}-4n-10$式Ｈ
である数列$\{c_{n}\}$の一般項を求めよという。

式Ｈの右辺を整理して、
$c_{n+1}=3c_{n}-4n(n+1)-10$式Ｈ'
この$n$に$n+1$を代入すると
$c_{n+2}=3c_{n+1}-4(n+1)(n+2)-10$
ができる。

これから式Ｈ'を辺々引くと、

	$c_{n+2}$	$=$	$3c_{n+1}$	$-4(n+1)(n+2)$	$-10$
$-)$	$c_{n+1}$	$=$	$3c_{n}$	$-4n(n+1)$	$-10$
$c_{n+2}-c_{n+1}$		$=$	$3($$c_{n+1}-c_{n}$$)$	$-4(n+1)\cdot2$

となるけど、$\{c_{n}\}$の階差数列を$\{u_{n}\}$とすると、この式の左辺は$u_{n+1}$で、右辺の赤い部分は$u_{n}$だ。
なので、この式は
$u_{n+1}=3u_{n}-4(n+1)\cdot 2$
$u_{n+1}$$=3u_{n}-8(n+1)$式Ｉ
と書きなおせる。

式Ｉの$n$に$n+1$を代入して、
$u_{n+2}=3u_{n+1}-8\{(n+1)+1\}$
$u_{n+2}$$=3u_{n+1}-8(n+2)$

これから式Ｉを辺々引いて、

	$u_{n+2}$	$=$	$3u_{n+1}$	$-8(n+2)$
$-)$	$u_{n+1}$	$=$	$3u_{n}$	$-8(n+1)$
	$u_{n+2}-u_{n}$	$=$	$3($$u_{n+1}-u_{n}$$)$	$-8\cdot1$

となるけど、$\{u_{n}\}$の階差数列を$\{w_{n}\}$とすると、この式の左辺は$w_{n+1}$で、右辺の赤い部分は$w_{n}$だ。
なので、この式は
$w_{n+1}=3w_{n}-8$式Ｊ
と書きなおせる。

式Ｊは普通の$a_{n+1}=pa_{n}+q$型の漸化式なので、$w_{1}$が分かれば一般項が求められる。

$\{u_{n}\}$は$\{c_{n}\}$の階差数列だから、
$u_{1}=c_{2}-c_{1}$ と表せる。

$\{c_{n}\}$の漸化式（式Ｈ）より、$c_{2}$は
$c_{2}=3\cdot 16-4\cdot 1^{2}-4\cdot 1-10$
$c_{2}$$=30$
なので、$u_{1}$は
$u_{1}=c_{2}-c_{1}$
$u_{1}$$=30-16$
$u_{1}$$=14$
となる。

また、$\{u_{n}\}$の漸化式（式Ｉ）より、$u_{2}$は
$u_{2}=3u_{1}-8(1+1)$ と表せる。

これに$u_{1}=14$を代入して計算すると、$u_{2}$は
$u_{2}=3\cdot 14-8\cdot 2$
$u_{2}$$=26$
である。

さらに、$\{w_{n}\}$は$\{u_{n}\}$の階差数列だから、
$w_{1}=u_{2}-u_{1}$ なので、
$w_{1}=26-14$
$w_{1}$$=12$
となる。

よって、$\{w_{n}\}$は
初項が$12$ 漸化式が$w_{n+1}=3w_{n}-8$ の数列だ。

(1)のときと同様に
$w_{n+1}-4=3(w_{n}-4)$
とおくと、$\{w_{n}-4\}$は
初項が$12-4=8$ 公比が$3$ の等比数列だ。

なので、一般項は
$w_{n}-4=8\cdot 3^{n-1}$
より
$w_{n}=8\cdot 3^{n-1}+4$式Ｋ
とかける。

ようやく一般項がつくれた。
これから、$w_{n}$→$u_{n}$→$c_{n}$ともどってゆこう。

$\{w_{n}\}$は$\{u_{n}\}$の階差数列なので、
$u_{n+1}-u_{n}=w_{n}$
より
$u_{n+1}=u_{n}+w_{n}$
とかける。

これに式Ｉ，式Ｋを代入すると
$3u_{n}-8(n+1)=u_{n}+8\cdot 3^{n-1}+4$
ができる。

これを計算して、
$2u_{n}=8\cdot 3^{n-1}+8n+12$
より
$u_{n}=4\cdot 3^{n-1}+4n+6$式Ｌ
となる。

$\{u_{n}\}$は$\{c_{n}\}$の階差数列なので、
$c_{n+1}-c_{n}=u_{n}$
より
$c_{n+1}=c_{n}+u_{n}$
とかける。

これに式Ｈ，式Ｌを代入すると
$3c_{n}-4n^{2}-4n-10=c_{n}+4\cdot 3^{n-1}+4n+6$
ができる。

これを計算して、
$2c_{n}=4\cdot 3^{n-1}+4n^{2}+8n+16$
より
$c_{n}=2\cdot 3^{n-1}+2n^{2}+4n+8$
である。

解答テ：２, ト：３, ナ：２, ニ：４, ヌ：８

$c_{n}$を(3)の方法で解くと、次のようになる。

$\{c_{n}\}$の漸化式を
$c_{n+1}=3c_{n}-4n^{2}-4n-10$式Ｈ
とする。

これまでの流れを振り返ると、
(1)で、
$a_{n+1}=3a_{n}-8$
を
$a_{n+1}-k=3(a_{n}-k)$ (3)で、
$b_{n+1}=3b_{n}-8n+6$
を
$b_{n+1}+s(n+1)+t=3(b_{n}+sn+t)$ と変形した。

この考え方から、$\{c_{n}\}$の漸化式（式Ｈ）を
$c_{n+1}+x(n+1)^{2}+y(n+1)+z$
       $=3(c_{n}+xn^{2}+yn+z)$式Ｍ
と変形しよう。
スセソのときと同じように、式Ｍを変形して式Ｈをつくる。

式Ｍを変形すると、
$c_{n+1}=3(c_{n}+xn^{2}+yn+z)$
               $-\{x(n+1)^{2}+y(n+1)+z\}$

途中式

$c_{n+1}$$=3c_{n}+3xn^{2}+3yn+3z$
               $-\{x(n^{2}+2n+1)+y(n+1)+z\}$
$c_{n+1}$$=3c_{n}+3xn^{2}+3yn+3z$
               $-(xn^{2}+2xn+x+yn+y+z)$
$c_{n+1}$$=3c_{n}+(3x-x)n^{2}$
               $+(3y-2x-y)n+(3z-x-y-z)$

$c_{n+1}$$=3c_{n}+2xn^{2}+(2y-2x)n+(2z-x-y)$
となる。

これが式Ｈと同じ式なので、

	$2x=-4$	式Ｎ
	$2y-2x=-4$	式Ｏ
	$2z-x-y=-10$	式Ｐ

とかける。

式Ｎより、
$x=-2$
これを式Ｏに代入して、
$y=-4$
これを式Ｐに代入して、
$z=-8$
となるから、式Ｍは
$c_{n+1}-2(n+1)^{2}-4(n+1)-8$
       $=3($$c_{n}-2n^{2}-4n-8$$)$式Ｍ'
と書きなおせる。

この式の赤い部分を
$v_{n}=c_{n}-2n^{2}-4n-8$式Ｑ
とおくと、式Ｍ'は
$v_{n+1}=3v_{n}$
と表せる。

ここで、$c_{1}=16$なので、式Ｑより
$v_{1}=16-2\cdot 1^{2}-4\cdot 1-8$
$v_{1}$$=2$
だから、$\{v_{n}\}$は
初項が$2$ 公比が$3$ の等比数列である。

よって、
$v_{n}=2\cdot 3^{n-1}$
となるから、これを式Ｑに代入して、
$c_{n}-2n^{2}-4n-8=2\cdot 3^{n-1}$
より
$c_{n}=2\cdot 3^{n-1}+2n^{2}+4n+8$
となる。

解答テ：２, ト：３, ナ：２, ニ：４, ヌ：８