図Ａの状態で天秤が釣り合ったという。

左辺を皿Ａ，右辺を皿Ｂとして、図Ａの状態を式にすると
$M+8\times 1=3\times 5$式Ａ
となる。

解答ア：１, イ：５

これを解いて、
$M+8=15$
$M=7$
である。

解答ウ：７

$M=1$のとき、皿Ａにのせる８ｇの分銅の数を$y$とすると、図Ｂの状態で天秤が釣り合うという。

左辺を皿Ａ，右辺を皿Ｂとして、図Ｂの状態を式にすると、
$1+8\times y=3\times 3$式Ｂ
となる。

これを解くと、
$1+8y=9$
$y=1$
である。

解答エ：１

$y=1$なので、式Ｂは
$1$$+8\times$$1$$=3\times$$3$
より
とかける。
赤い部分は物体Ｘの質量，青い部分は８ｇの分銅の数，緑の部分は３ｇの分銅の数にあたる。

この式の両辺を$M$倍すると、
$M$$+8\times$$M$$=3\times$$3M$式Ｂ'
となるから、物体Ｘの質量$M$がどんな自然数でも
皿Ａに
物体Ｘ ８ｇの分銅を$M$個 皿Ｂに
３ｇの分銅を$3M$個 のせると、天秤が釣り合うことが分かる。

解答オ：１, カ：４

$M=20$のとき、図Ｃの状態で天秤が釣り合うとする。

左辺を皿Ａ，右辺を皿Ｂとして、図Ｃの状態を式にすると、
$20+3\times p=8\times q$
より、一次不定方程式
$3\cdot (-p)+8q=20$式Ｃ
ができる。

式Ｃの$0$以上の整数解を求めれば、それが問題の$(p,q)$だ。

(2)の式Ｂ'を変形すると
$3\cdot 3M+8\cdot (-M)=M$
とかける。

これに$M=20$を代入して、
$3\cdot 60+8\cdot (-20)=20$式Ｄ
として、式Ｃから辺々引くと、

	$3\cdot (-p)$	$+8q$	$=$	$20$
$-)$	$3\cdot 60$	$+8\cdot (-20)$	$=$	$20$
	$3(-p-60)$	$+8(q+20)$	$=$	$0$

となるから、
$3(p+60)=8(q+20)$
とかける。

この式が成り立つためには、$3$と$8$は互いに素なので、$m$を整数として
$\{\begin{array}{l}p+60=8m\\ q+20=3m\end{array}$
でなければならない。

よって、式Ｃのすべての解は
$\{\begin{array}{l}p=8m-60\\ q=3m-20\end{array}$式Ｅ
と表せる。

いま、$p$，$q$は分銅の個数なので、$0$以上の整数のはず。
なので、式Ｅより
$\{\begin{array}{l}0\leqq 8m-60\\ 0\leqq 3m-20\end{array}$
とかける。

これを計算して、
$60\leqq 8m$
${\displaystyle \frac{15}{2}\leqq m}$
$7.5\leqq m$
$20\leqq 3m$
${\displaystyle \frac{20}{3}\leqq m}$
$6.\dot{6}\leqq m$
より、
$8\leqq m$式Ｆ
でなければならない。

このときの$p$が最小となる$(p,q)$の組を問われているんだけど、式Ｅを見ると、$m$が小さいほど$p$も小さい。
なので、式Ｆを満たす最小の$m$の
$m=8$
を式Ｅに代入すると、求める$(p,q)$は
$\{\begin{array}{l}p=8\cdot 8-60\\ q=3\cdot 8-20\end{array}$
より
$(p,q)=(4,4)$
となる。

解答キ：４, ク：４

アドバイス

問題文では$p$，$q$を自然数としていて$0$を考えていないけれど、これは$p=0$または$q=0$は明らかに解ではないため。
$p$，$q$を自然数としても$0$以上の整数としても、答えには影響がない。

次に、一次不定方程式
$3x+8y=20$式Ｇ
のすべての解を求めよという。

式Ｇは式Ｃとほとんど同じなので、これまでの作業を利用する方向で解こう。

キクで見つけた$(p,q)$の解を式Ｃに代入して
$3\cdot (-4)+8\cdot$$4$$=20$式Ｈ
として、式Ｇから辺々引くと、

	$3x$	$+8y$	$=$	$20$
$-)$	$3\cdot (-4)$	$+8\cdot$$4$	$=$	$20$
	$3(x+4)$	$+8(y-$$4$$)$	$=$	$0$

となるから、
$-3(x+4)=8(y-$$4$$)$
とかける。

この式が成り立つためには、$3$と$8$は互いに素なので、$n$を整数として

	$x+4=8n$
	$y-$$4$$=-3n$

でなければならない。

よって、式Ｇの解は

	$x=-4+8n$	式Ｉ
	$y=$$4$$-3n$

と表せる。

解答ケ：－, コ：４, サ：８, シ：３

３ｇの分銅の数を$s$，８ｇの分銅の数を$t$とすると、天秤が釣り合うとき、
$3s+8t=M$
とかける。

同様に、２種類の分銅の質量を$W_1$，$W_2$，それぞれの分銅の数を$s$，$t$，物体Ｘの質量を$7$とすると
$W_{1}s+W_{2}t=7$式Ｍ
とかける。
この一次不定方程式が$s$，$t$の整数解をもつとき、天秤は釣り合う。

ということで、選択肢から、式Ｍが整数解をもたない分銅の質量の組合せを探す。

まず復習から。

復習

$ax+by=1$が$x$，$y$の整数解を持つ
          $\Updownarrow$
$a$と$b$が互いに素

だった。

また、(2)で考えたように、
$ax+by=1$
が解をもてば、
$ax+by=M$
も解をもつ。

これを頭に入れて、選択肢をひとつずつ確認しよう。

以上より、天秤を釣り合わせることができない組合せは
①と②
である。

解答ス：１，２

問題文から、釣り合わない$M$はソタ以下の数で、セ通りある。
セは一桁なので、きっとソタはそれほど大きい数じゃない。
とりあえず$20$くらいまでの自然数を書いた表Ａをつくって、確認しよう。

まず、(i)だ。
$3x+8\times 0=3x$
なので、問題文にも書いてあるけど、(i)に含まれるのは$3$の倍数である。
表Ａの青い部分がこれにあたる。

次に、(ii)。
$3x+8\times 1=3x+8$
$3x+8\times 1$$=3x+3\times 2+2$
$3x+8\times 1$$=3(x+2)+2$
なので、問題文にも書いてあるけど、(ii)に含まれるのは、$8$以上の$3$で割ると$2$余る数だ。
表Ａの緑の部分がこれにあたる。

最後に、(iii)。
$3x+8\times 2=3x+16$
$3x+8\times 2$$=3x+3\times 5+1$
$3x+8\times 2$$=3(x+5)+1$
なので、問題文にも書いてあるけど、(iii)に含まれるのは、$16$以上の$3$で割ると$1$余る数。
表Ａのオレンジの部分がこれにあたる。

ここまでやってみると、
(i)は、３ｇの分銅だけ (ii)は、８ｇの分銅１個と ３ｇの分銅 (iii)は、８ｇの分銅２個と ３ｇの分銅 を使って作れる質量であることに気づく。

８ｇの分銅を３個使う場合は、
８ｇ$\times$３個 $=$ ３ｇ$\times$８個なので、作れる質量は(i)に含まれる。 ８ｇの分銅を４個使う場合は、
８ｇ$\times$４個 $=$ ８ｇ$\times$１個$+$３ｇ$\times$８個なので、作れる質量は(i)に含まれる。

同様に、８ｇの分銅を５個使う場合は(iii)に含まれるし、６個使う場合は(i)に含まれる。
なので、８ｇの分銅が３個以上の場合は考えなくていい。

次は、
$3x+2018y$
で表せない自然数の最大値だ。

ソタと同じように考えよう。

(i)を
$3x+2018\times 0$
とかける数の集合とする。
このとき、(i)に含まれるのは$3$の倍数だ。

(ii)を
$3x+2018\times 1$
とかける数の集合とする。
このとき、
$3x+2018\times 1=3x+3\times 672+2$
$3x+2018\times 1$$=3(x+672)+2$
より、(ii)に含まれるのは、$2018$以上の$3$で割ると$2$余る数。

(iii)を
$3x+2018\times 2$
とかける数の集合とする。
このとき、
$3x+2018\times 2=3x+4036$
$3x+2018\times 1$$=3x+3\times 1345+1$
$3x+2018\times 1$$=3(x+1345)+1$
より、(iii)に含まれるのは、$4036$以上の$3$で割ると$1$余る数。

これを表Ａと同じように表すと、表Ｂができる。

(i)，(ii)，(iii)に含まれる数は
$3x+2018y$
と表すことができるので、(i)，(ii)，(iii)に含まれない最大の数が、問われているチツテトだ。

よって、求めるチツテトは、表Ｂの色がついていないマスで一番大きな数字（赤文字の数字）の
$4033$
である。

解答チ：４, ツ：０, テ：３, ト：３