大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査数学ⅡＢ第２問 [2] 解説

(1) (i)(ii)

(i)

はじめは、定期テストなんかでよく見る軌跡の問題だ。

このタイプの問題を解くときには鉄則があって、

復習

軌跡を求める点を $(x, y)$ とおく

だった。

復習より、
点 $M$ を $(x, y)$ 点 $P$ を $(s, t)$ とおく。

図の固定

点 $M$ は点 $A (0, - 2)$ と点 $P (s, t)$ の中点なので、
$(x, y) = (\frac{0 + s}{2}, \frac{- 2 + t}{2})$
より
${\begin{cases} 2 x = s \\ 2 y = - 2 + t \end{cases}$
なので
${\begin{cases} s = 2 x \\ t = 2 y + 2 \end{cases}$ 式Ａ
と表せる。

また、点 $P$ は $y = x^{2}$ 上の点なので、
$t = s^{2}$
とかける。

これに式Ａを代入して、点 $M$ の軌跡の方程式は
$2 y + 2 = (2 x)^{2}$
より
$y + 1 = 2 x^{2}$
$y = 2 x^{2} - 1$ 式Ｂ
である。

解答ト：１

(ii)

(i)の解説の図Ａ以降の計算をちょっと変えよう。

点 $M$ は点 $A (p, - 2)$ と点 $P (s, t)$ の中点なので、
$(x, y) = (\frac{p + s}{2}, \frac{- 2 + t}{2})$
より
${\begin{cases} 2 x = p + s \\ 2 y = - 2 + t \end{cases}$
なので
${\begin{cases} s = 2 x - p \\ t = 2 y + 2 \end{cases}$ 式Ｃ
と表せる。

また、点 $P$ は $y = x^{2}$ 上の点なので、
$t = s^{2}$
とかけるから、これに式Ｃを代入して、点 $M$ の軌跡の方程式は
$2 y + 2 = (2 x - p)^{2}$
より
$y + 1 = 2 {(x - \frac{p}{2})}^{2}$
$y = 2 {(x - \frac{p}{2})}^{2} - 1$ 式Ｄ
となる。

これは、式Ｂの $x$ を $x - \frac{p}{2}$ に変えたもの。
なので、式Ｄのグラフは式Ｂのグラフを
$x$ 軸方向に $\frac{p}{2}$
平行移動したものである。

解答ナ：０

(1) (iii)

(ii)の解説の計算をまたちょっと変える。

点 $M$ は点 $A (p, q)$ と点 $P (s, t)$ の中点なので、
$(x, y) = (\frac{p + s}{2}, \frac{q + t}{2})$
より
${\begin{cases} 2 x = p + s \\ 2 y = q + t \end{cases}$
なので
${\begin{cases} s = 2 x - p \\ t = 2 y - q \end{cases}$ 式Ｅ
と表せる。

また、点 $P$ は $y = x^{2}$ 上の点なので、
$t = s^{2}$
とかけるから、これに式Ｅを代入して、点 $M$ の軌跡の方程式は
$2 y - q = (2 x - p)^{2}$ 式Ｆ
となる。

以下、式Ｆのグラフを放物線 $L$ とする。

二次関数同士の共有点の数なので、判別式にもってゆく方向で考えよう。

$y = x^{2}$ と放物線 $L$ の共有点は、連立方程式

	$y = x^{2}$
	$2 y - q = (2 x - p)^{2}$ 式Ｆ

の解だ。

この連立方程式から $y$ を消して、 $x$ だけの方程式にしよう。

式Ｆに $y = x^{2}$ を代入して、
$2 x^{2} - q = 4 x^{2} - 4 p x + p^{2}$
より
$2 x^{2} - 4 p x + p^{2} + q = 0$
とかける。

この式の判別式 $D$ をとると、
$D = (- 4 p)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (p^{2} + q)$
$D$ $= 8 (2 p^{2} - p^{2} - q)$
$D$ $= 8 (p^{2} - q)$
なので、
$\frac{D}{8} = p^{2} - q$ 式Ｇ
である。

式Ｇより、 $q = 0$ のとき、
$p = 0$ のとき、 $\frac{D}{8} = 0$ $p \neq 0$ のとき、 $\frac{D}{8} > 0$ となる。

よって、放物線 $L$ と $y = x^{2}$ は、
$q = 0$ のとき、
$p = 0$ なら、共有点は１個 $p \neq 0$ なら、共有点は２個であることが分かる。

したがって、選択肢の⓪，②は誤りで、
①
は正しい。

また、式Ｇより、

$q < p^{2}$ のとき、
$p^{2} - q > 0$
なので、
$\frac{D}{8} > 0$

$q = p^{2}$ のとき、
$p^{2} - q = 0$
なので、
$\frac{D}{8} = 0$

$q > p^{2}$ のとき、
$p^{2} - q < 0$
なので、
$\frac{D}{8} < 0$

となる。

よって、放物線 $L$ と $y = x^{2}$ は、
$q < p^{2}$ のとき、共有点は２個 $q = p^{2}$ のとき、共有点は１個 $q > p^{2}$ のとき、共有点は０個であることが分かる。

したがって、選択肢の③は誤りで、
④，⑤
は正しい。

以上より、正しい選択肢は
①，④，⑤
である。

解答ニ：１，４，５

(2)

軌跡からもとの図形を復元する問題。

イメージをつかむために、円周上の点と定点との中点の軌跡をいくつか考えてみよう。
ここでは、おおざっぱなイメージだけ分かればいい。

アドバイス

緑をもとの円として、定点が円の外にあるとき、円周上の点と定点との中点の軌跡は図Ｂの赤い円のようになる。

図の固定

また、定点が円の中にあるとき、円周上の点と定点との中点の軌跡は図Ｃの赤い円のようになる。

図の固定

図Ｂ，図Ｃを見て気づくのは、
定点，軌跡の円の中心，もとの円の中心は一直線上にある。定点から見て、もとの円の中心は軌跡の円の中心の２倍遠くにある。定点が軌跡の円の内部にあれば、もとの円でも内部にある。
定点が軌跡の円の外部にあれば、もとの円でも外部にある。定点が軌跡の円の中心なら、もとの円でも中心にある。もとの円の半径は、軌跡の円の半径の $2$ 倍である。くらいだろうか。

これを頭に入れて、問題文中の図を見る。

図の固定

図を見ると、
軌跡の円は半径が $2$ だ。

また、図Ｄの赤い円は
円の内部に定点があり定点が円の中心になっている。

以上とアドバイスより、もとの円の
半径は $4$ 中心は赤い円の中心の $(0, 0)$ であることが分かる。

よって、もとの円の方程式は
$x^{2} + y^{2} = 4^{2}$
$x^{2} + y^{2}$ $= 16$
となる。

解答ヌ：３

上のアドバイスのうち、使ってない性質がたくさんある。
それを使うと別解がたくさん作れるけど、ここでは省略する。