点$\mathrm{M}$は$\mathrm{AB}$の中点なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
点$\mathrm{N}$は$\mathrm{CD}$の中点なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{2}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})}$
である。

解答ア：１, イ：２

また、立体のすべての面は１辺が$1$の正三角形なので、
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}=1\cdot 1\cdot \cos {60}^{\circ }$
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$
である。

解答ウ：１, エ：２

まず、内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{c})$式Ａ
とかける。

式Ａの$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$は、
アイで求めたように、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})}$式Ｂ 問題文より、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=k\overrightarrow{\mathrm{OM}}$式Ｃ の２通りに表せる。

なので、内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}$も２通りに表せる。
その２つの式を連立方程式にして、$k$を求めよう。

式Ａに式Ｃを代入すると
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{a}\cdot (k\overrightarrow{\mathrm{OM}}-\overrightarrow{c})$
とかける。

これに、アイで求めた
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
を代入すると、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{a}\cdot \{\frac{k}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-\overrightarrow{c}\}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}}$${\displaystyle =\frac{k}{2}\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}}$${\displaystyle =\frac{k}{2}({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}$式Ｅ
となる。

ここで、
(i)より
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\frac{1}{2}}$ 問題文より、
$\left|\overrightarrow{a}\right|=1$ なので、式Ｅは
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{k}{2}(1^2+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CN}}}$${\displaystyle =\frac{k}{2}\cdot \frac{3}{2}-\frac{1}{2}}$式Ｅ'
である。

方針１

オカより、$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$は
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OM}}}$
とかける。

これにアイで求めた

を代入すると、
${\displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
より
$3(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})=2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
となる。

これを$\overrightarrow{d}$について解いて、
$3\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$
より
$3\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$
${\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}}$式Ｆ
となる。

解答キ：２, ク：３, ケ：２, コ：３

方針２

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$のなす角は$0^{\circ }$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|\cos 0^{\circ }$
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}$$=\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|$式Ｇ
である。

また、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})}$
なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\cdot (\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})}$
より
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}+2\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}+\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{d})}$
${\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2$${\displaystyle ={\left(\frac{1}{2}\right)}^2({\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{c}\right|\left|\overrightarrow{d}\right|\cos \theta +{\left|\overrightarrow{d}\right|}^2)}$
となる。

この式に
$\left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{d}\right|=1$ を代入すると
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(1^2+2\cdot 1\cdot 1\cos \theta +1^2)}$
より
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2=\frac{1}{2}(1+\cos \theta )}$式Ｈ
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \theta }$
とかける。

解答サ：１, シ：２

$\cos \theta$を、方針１または方針２を使って求めよという。
どちらの方法を使ってもいいんだけど、方針１の方が計算が少なくて済むからお勧め。
ここでは、両方の方法を載せておく。

方針１

$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=\left|\overrightarrow{c}\right|\left|\overrightarrow{d}\right|\cos \theta$
$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}$$=\cos \theta$
に式Ｆを代入すると、
${\displaystyle \overrightarrow{c}\cdot (\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\cos \theta }$
ができる。

これを計算して、
${\displaystyle \cos \theta =\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}}$
より
${\displaystyle \cos \theta =\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}-1^2}$
${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle =\frac{2}{3}-1}$
${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle =-\frac{1}{3}}$
となる。

解答ス：－, セ：１, ソ：３

方針２

まず、問題中の
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}$ $\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|$ の値を求めよう。

なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})}$
より
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d})}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}}$${\displaystyle ={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}\times 4}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$
である。

これを式Ｇに代入すると、
${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|=\frac{1}{2}}$式Ｉ
とかける。

また、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
より
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b})}$（★）
${\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2$${\displaystyle ={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(1^2+2\cdot \frac{1}{2}+1^2)}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{3}{4}}$式Ｊ
となる。

以上で求めた

を使って、$\cos \theta$を求める。
そのために、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|$を代入して消そう。

式Ｉの両辺を２乗して、
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2=\frac{1}{4}}$
これに式Ｈ，式Ｊを代入して、
${\displaystyle \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}(1+\cos \theta )=\frac{1}{4}}$
両辺を$8$倍して、
$3(1+\cos \theta )=2$
$3+3\cos \theta =2$
$3\cos \theta =2-3$
${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle =-\frac{1}{3}}$
である。

解答ス：－, セ：１, ソ：３

問題文に方針２を使うように指示があるので、(1)で解いた方針２の計算をもう一度しよう。
ただし、全部やり直す必要はなくて、
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}}$ の部分を $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\cos \alpha$ に $\theta$ の部分を $\beta$ に に変えればよい。

(1)(iii)で求めた式Ｈの
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2=\frac{1}{2}(1+\cos \theta )}$
は、$\theta$を$\beta$に変えて
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2=\frac{1}{2}(1+\cos \beta )}$式Ｈ' となる。

(1)(iv)で計算した ${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|=\frac{1}{2}}$式Ｉ はそのまま使えるけど、式Ｊの
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2=\frac{3}{4}}$
は、求めるときに$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を使っているから、その直前、つまり（★）の行からやり直そう。

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b})}$（★）
に$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\cos \alpha$を代入すると、
${\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2={\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^2(1^2+2\cdot \cos \alpha +1^2)}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{1}{2}(1+\cos \alpha )}$式Ｊ'
となる。

以上で求めた

を使って、(1)(iv)と同様の計算をする。

式Ｉの両辺を２乗して、
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|}^2=\frac{1}{4}}$
これに式Ｈ'，式Ｊ'を代入すると
${\displaystyle \frac{1}{2}(1+\cos \alpha )\cdot \frac{1}{2}(1+\cos \beta )=\frac{1}{4}}$
となるから、両辺を$4$倍して
$(1+\cos \alpha )(1+\cos \beta )=1$式Ｋ
と表せる。

解答タ：１

$\alpha =\beta$のとき、図形は図Ｃのようになる。

図の固定

このとき、式Ｋは
$(1+\cos \alpha {)}^2=1$
とかける。

これを解いて、
$1+\cos \alpha =\pm 1$
より
$\cos \alpha =-1\pm 1$
$\cos \alpha$$=-2$，$0$
だけど、$-1\leqq \cos \alpha \leqq 1$なので
$\cos \alpha =0$
とかける。

よって、
$\alpha ={90}^{\circ }$
である。

解答：チ：９, ツ：０

このとき、図Ｃの△$\mathrm{OAB}$（緑の三角形）と△$\mathrm{OCD}$（黄色い三角形）は合同になる。
なので、点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{N}$は一致するから、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$は交わる。

交差する２直線は同一平面上にあるから、２つの直線上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$も同一平面上にある。

解答テ：１