$f(x)$は三次関数なので、$f'(x)$は次数がひとつ減って二次関数になる。

解答カ：２

$f(x)$は$-1$と$3$で極値をとる。

よって、$f'(x)$は$x=-1$，$3$のときに
$f'(x)=0$
になるから、$p$を実数として
$f'(x)=p(x+1)(x-3)$式Ａ
とかける。

なので、$f'(x)$は
$(x+1)(x-3)$
で割り切れる。

解答キ：１, ク：３

式Ａより、$f'(x)$は
$f'(x)=p(x+1)(x-3)$
$f'(x)$$=p(x^{2}-2x-3)$
$f'(x)$$=px^{2}-2px-3p$
となる。

これを積分すると、積分定数を$C$として、
$f(x)=\displaystyle \frac{p}{3}x^{3}-px^{2}-3px+C$式Ｂ
とかける。

$y=f(x)$が$(0,2)$を通るので、式Ｂは、
$\displaystyle \frac{p}{3}\cdot 0^{3}-p\cdot 0^{2}-3p\cdot 0+C=3$
となるので、
$C=2$式Ｃ
である。

また、
$f(-1)=-\displaystyle \frac{4}{3}$
なので、式Ｂ，式Ｃより
$\displaystyle \frac{p}{3}(-1)^{3}-p(-1)^{2}-3p(-1)+2=-\frac{4}{3}$
とかける。

これを計算して、
$-\displaystyle \frac{p}{3}-p+3p+2=-\frac{4}{3}$
$-\displaystyle \frac{p}{3}+2p+2=-\frac{4}{3}$
両辺を$3$倍して、
$-p+6p+6=-4$
$5p=-10$
$p=-2$
である。

よって、$f(x)$は
$f(x)=-\displaystyle \frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}+6x+2$
となる。

解答ケ：－, コ：２, サ：３, シ：２, ス：６, セ：２

以上より、$y=f(x)$は、
$x^{3}$の係数が負 $x=-1$，$3$で極値をとる 極小値は$-\displaystyle \frac{4}{3}$ $y=2$で$y$軸と交わる ような三次関数なので、概形は図Ａのような形だ。
詳しい説明はこのページ参照。

このグラフは$x$軸と３点で交わり、交点のうち２つの$x$座標は負だ。
つまり、$f(x)=0$は３つの実数解をもつけど、そのうちの２解は負である。

解答ソ：２

このグラフを使って、面積$S$，$T$を図Ｂのように決める。

このとき、関数を積分すると$x$軸より下の面積は負、上の面積は正で表されるので、
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=-S$
$\displaystyle \int_{b}^{c}f(x)\,dx=T$
となる。

よって、
$$ \begin{align} \int_{a}^{c}f(x)\,dx&=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx\\ &=-S+T \end{align} $$ である。

解答タ：７