大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査数学ⅠＡ第１問 [4] 解説

(1)

問題文中の「太郎さんの証明の構想」の話の展開が分かりにくいかも知れない。
問題文をもうちょっと分かりやすく書きなおしてみると、

図の固定

図Ａの赤い三角形とオレンジの三角形を比べてみると、
青い角（ $A$ ）は等しい辺 $BC$ （ $a$ ）は共通であるといえる。

なので、オレンジの三角形で
$\frac{a}{\sin A} = 2 R$ 式Ａ
であれば、赤い三角形でも
$\frac{a}{\sin A} = 2 R$
であることが分かる。

問題の最初の部分で、直角三角形（オレンジの三角形）の場合に式Ａが成り立つことを証明した。

よって、赤い三角形でも式Ａは成り立つ。

となる。

つまり、三角形 $ABC$ を直角三角形と比べたい。
なので、 $A^{'}$ の位置は、三角形 $A^{'} BC$ が直角三角形になる点だ。

選択肢のうちで三角形 $A^{'} BC$ が直角三角形になるのは、 $A^{'}$ が図Ａの緑の点になる
①
である。

解答カ：１

「花子さんの証明の構想」も、基本的な手順は(1)の太郎さんの構想と変わらない。
花子さんの構想を、図Ｂで説明すると、

図の固定

図Ｂの赤い三角形とオレンジの三角形を比べてみると、
青い角（ $A$ ）と緑の角（ $D$ ）は、たして $180^{\circ}$ なので、
$\sin A = \sin D$ 辺 $BC$ （ $a$ ）は共通であるといえる。

なので、オレンジの三角形で
$\frac{a}{\sin D} = 2 R$ 式Ｂ
であれば、赤い三角形でも
$\frac{a}{\sin A} = 2 R$
であることが分かる。

問題の最初の部分で、直角三角形（オレンジの三角形）の場合に式Ｂが成り立つことを証明した。

なので、赤い三角形でも式Ｂは成り立つ。

となる。

よって、キには図Ａの緑の角である
$∠ BDC$
が入るから、正しい選択肢は
⑤
だ。

解答キ：５

また、図Ｂの緑の角と青い角をたすと $180^{\circ}$ なので、
$∠ CAB + ∠ BDC = 180^{\circ}$
より
$∠ CAB = 180^{\circ} - ∠ BDC$
である。

よって、クには、選択肢の
⑤
が入る。

解答ク：５