ここでは、$n$進法の原理、つまり「なぜこういう計算をするのか」については説明しない。
それについてはこのページで解説してあるので、自信がない人は下の解説を見る前に読んでほしい。

最初に確認しておくと、それぞれのタイマーの表示は、
Ｔ３：経過時間を$3$進数で表したものの下３桁 Ｔ４：経過時間を$4$進数で表したものの下３桁 Ｔ６：経過時間を$6$進数で表したものの下３桁 にあたる。

これを頭に入れて、問題を解こう。

Ｔ６の表示は、経過時間を$6$進数で表したものの下３桁だった。
ということで、経過時間の${40}_{(10)}$を$6$進数にする。

$40$を、$6$進数の基数である$6$で割る。
その商をまた基数の$6$で割って、という作業を商が$0$になるまでくり返すと、次のような計算になる。

この計算ででた余り（赤文字の部分）を右から順に並べた
${104}_{(6)}$
が、$6$進数で表した${40}_{(10)}$になる。

以上より、${40}_{(10)}$秒後のＴ６の表示は
$104$
である。

解答ア:１, イ：０, ウ：４

Ｔ４の表示は、経過時間を$4$進数で表したものの下３桁だった。
ということで、${10011}_{(2)}$を$4$進数にする。

ここでは、$2$進数をいったん$10$進数にしてから$4$進数にする。
$2$進数から$4$進数へ直接変換する方法は、別解で説明する。

以上より、${10011}_{(2)}$秒後のＴ４の表示は
$103$
である。

解答エ：１, オ：０, カ：３

Ｔ４の表示は、経過時間を$4$進数で表したものの下３桁だった。
なので、スタート後
${1000}_{(4)}$秒 ごとに表示は$000$に戻る。

${1000}_{(4)}$は
$4^3$が$1$つ $4^2$が$0$ $4^1$が$0$ $4^0$が$0$ 集まった数なので、$10$進数にすると
$4^3$
とかける。

つまり、Ｔ４の表示は
$4^3$秒 ごとにが$000$に戻る。

したがって、スタート後初めてＴ４の表示が$000$に戻るのは
$4^3$秒後$=64$秒後
であることが分かる。

解答キ：６, ク：４

同様に考えると、Ｔ６の表示は、スタート後
${1000}_{(6)}$秒 ごとに$000$に戻る。

${1000}_{(6)}$は
$6^3$が$1$つ $6^2$が$0$ $6^1$が$0$ $6^0$が$0$ 集まった数なので、$10$進数にすると
$6^3$
とかける。

したがって、Ｔ４の表示は
$6^3$秒 ごとにが$000$に戻る。

以上より、Ｔ４とＴ６のタイマーの表示が両方とも$000$に戻るのは、
$4^3$と$6^3$の最小公倍数 秒ごとであることが分かる。

$\{\begin{array}{l}{4}^3=2^3\times 2^3\\ 6^3=2^3\times 3^3\end{array}$
なので、$4^3$と$6^3$の最小公倍数は
$2^3\times 2^3\times 3^3=1728$
だ。

よって、スタート後初めてＴ４とＴ６の両方の表示が$000$に戻るのは
$1728$秒後
である。

解答ケ：１, コ：７, サ：２, シ：８

Ｔ４の表示は、経過時間を$4$進数で表したものの下３桁だった。
なので、Ｔ４の表示が$012$であることは、
経過時間$\ell$を$4$進数で表すと、下３桁が$012$である つまり
$\ell$を${1000}_{(4)}$で割った余りが${12}_{(4)}$である ことと同じだ。

これを$10$進法で書きかえると、
キクより、${1000}_{(4)}=64$ ${12}_{(4)}=4^1\times 1+4^0\times 2=6$ なので、
$\ell$を$64$で割った余りが$6$である となる。

解答ス：６, セ：４, ソ：６

よって、整数$x$を使って
$\ell ÷64=x\dots 6$
より
$\ell =64x+6$式Ａ
とかける。

Ｔ３についても同様に考えると、Ｔ３の表示が$012$であることは
経過時間を${1000}_{(3)}$で割った余りが${12}_{(3)}$である といえる。

これを$10$進法で書きかえると、
${1000}_{(3)}=3^3=27$ ${12}_{(3)}=3^1\times 1+3^0\times 2=5$ なので、
経過時間を$27$で割った余りが$5$である となる。

タイマーがスタートしてから$\ell$秒後にＴ３の表示も$012$であったとすると、整数$y$を使って
$\ell ÷27=y\dots 5$
より
$\ell =27y+5$式Ｂ
とかける。

ここで問われているのは、初めてＴ３とＴ４両方に$012$と表示されるまでの経過時間$m$だ。
つまり、式Ａ，Ｂで表した$\ell$の最小の正の値を問われている。 なので、式Ａ，Ｂを連立方程式として考える。

式Ａ，Ｂから$\ell$を消去すると、
$64x+6=27y+5$
より、一次不定方程式
$64x-27y=-1$式Ｃ
ができる。

式Ｃの解をひとつ見つけて 式Ａまたは式Ｂに代入すると、Ｔ３とＴ４両方に$012$と表示されるまでの経過時間がひとつ分かる。
ということで、式Ｃの解をひとつ見つけよう。
方法は、お約束の互除法だ。

$x$と$y$の係数の$64$と$27$でユークリッドの互除法を行うと、
$64÷27=2\dots 10$式Ｄ1
$27÷10=2\dots 7$式Ｄ2
$10÷7=1\dots 3$式Ｄ3
$7÷3=2\dots 1$式Ｄ4

これを「＝余り」の形に変形して、
$64-27\cdot 2=10$式Ｄ1'
$27-10\cdot 2=7$式Ｄ2'
$10-7\cdot 1=3$式Ｄ3'
$7-3\cdot 2=1$式Ｄ4'

式Ｄ4'に式Ｄ3'を代入して、
$10\cdot (-2)+7\cdot 3=1$
これに式Ｄ2'を代入して、
$27\cdot 3+10\cdot (-8)=1$
これに式Ｄ1'を代入すると
$64\cdot (-8)+27\cdot 19=1$
となる。

この式が式Ｃと同じ形になるように、両辺に$-1$をかけると
$64\cdot 8-27\cdot 19=-1$
とかけるから、
$\{\begin{array}{l}x=8\mathrm{式}Ｅ\\ y=19\end{array}$
は方程式Ｃの解のひとつだ。

解のひとつが見つかったから、経過時間がひとつ分かる。

式Ｅを式Ａに代入すると
$$\begin{array}{rl}\ell & =64\cdot 8+6\\ & =518\mathrm{式}Ｆ\end{array}$$ だから、タイマーがスタートしてから$518$秒後には、Ｔ３，Ｔ４両方の表示が$012$であることが分かる。

また、
キクで考えたように、Ｔ４は$4^3$秒ごとに同じ数が表示される 同様に考えて、Ｔ３は$3^3$秒ごとに同じ数が表示される ことから、Ｔ３，Ｔ４ともに同じ数が表示されるのは、$4^3$と$3^3$の最小公倍数の
$4^3\times 3^3=1728$
秒ごとである。

よって、$518$秒後よりも前に ふたつのタイマーの表示が$012$になることはない。

以上より、Ｔ３，Ｔ４の表示が初めて同時に$012$になるのは、式Ｆの
$518$秒後
であることが分かる。

解答タ：５, チ：１, ツ：８

Ｔ６についても同様に考えると、Ｔ６の表示が$012$であることは
経過時間を${1000}_{(6)}$で割った余りが${12}_{(6)}$である といえる。

これを$10$進法で書きかえると、
${1000}_{(6)}=6^3$ ${12}_{(6)}=6^1\times 1+6^0\times 2=8$ なので、
経過時間を$6^3$で割った余りが$8$である となる。

タイマーがスタートしてから$\ell$秒後にＴ６の表示も$012$であったとすると、整数$z$を使って
$\ell ÷6^3=z\dots 8$
より
$\ell =6^{3}z+8$式Ｇ
とかける。

さっきと同じように、式Ａと式Ｇから一次不定方程式をつくると
$64x+6=6^{3}z+8$
より
$64x-6^{3}z=2$
$32x-6^2\cdot 3z=1$
となるけど、$x$と$z$の係数の$32$と$6^2\cdot 3$は互いに素じゃないから、この式を満たす$x$，$z$の整数解は存在しない。

よって、Ｔ４とＴ６が同時に$012$と表示されることはないので、解答群のうち正しいものは
③
である。

解答テ：３